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Réponse :

Exercice 4 (6 points)

f est la fonction définie sur R par f(x) = x³ + x²-x+ 5, on note C, sa courbe représentative dans un

repère du plan.

1. Calculer f'(x).

f est une fonction polynôme dérivable sur R  et sa dérivée f ' est :

f '(x) = 3 x² + 2 x - 1

2. Montrer que la tangente au point A d'abscisse -1 à C, est horizontale.

f '(- 1) = 3 * (- 1)² + 2 * (- 1) - 1 = 3 - 2 - 1 = 0

on a f '(- 1) = 0  donc la tangente au point A 'abscisse - 1 à Cf est horizontale

3. Montrer que la courbe C, admet une deuxième tangente horizontale en un point B dont on déterminera les coordonnées.

on écrit f '(x) = 0  ⇔ 3 x² + 2 x - 1 = 0

Δ = 4 + 12 = 16 > 0  on a donc 2 racines distinctes

x1 = - 2 + 4)/6 = 1/3  ⇒ f(1/3) = 1/3³ + 1/3² - 1/3 + 5

                                             = 1/27 + 1/9 - 1/3 + 5

                                             = (1 + 3 - 9 + 135)/27

                                             = 130/27

donc les coordonnées de B(1/3 ; 130/27)

x2 = - 2 - 4)/6 = - 1   (déjà vue en Q.2)

4. Existe-t-il un point de C, où la tangente est parallèle à la droite d'équation y = -2x + 1?

f '(a) = - 2  ⇔ 3 a² + 2 a - 1 = - 2  ⇔ 3 a² + 2 a + 1 = 0

Δ = 4 - 12 = - 8 < 0   donc pas de solutions

donc il n'existe aucun point de C où la tangente est // à y = - 2 x + 1

Explications étape par étape :