Exercice 5 : (probabilités conditionnelles et suites) Pour analyser le fonctionnement d’une machine d’atelier, on note, mois après mois, ses pannes et on remarque que :
• Sur un mois, la machine tombe au plus une fois en panne ;
• Si pendant le mois « n » la machine n’a pas de panne, la probabilité qu’elle en ait une le mois suivant « n+1 » est 0,24 ;
• Si la machine tombe en panne le mois « n "(ce qui entraîne sa révision), la probabilité qu’elle tombe en panne le mois suivant « n+1 » est 0,04 ;
• La probabilité que la machine tombe en panne le premier mois après sa mise en service est 0,1 .
On désigne par En l’événement : « La machine tombe en panne le n-ième mois suivant sa mise en service » ; on note pn la probabilité de En (et on a ainsi p1 = 0,1 ). Fn est son évenement contraire
1) a) Donner les valeurs numériques des probabilités de « En+1 sachant En » et de « En+1 sachant Fn » .
Exprimer alors les probabilités de « En+1 et En » et de « En+1 et Fn » en fonction de pn .
2) montrer alors que pour tout entier naturel n non nul, on a : pn+1 = 0,24 - 0,2pn
3) a) Résoudre l’équation p = 0,24 – 0,2p .
b) Pour tout entier naturel n non nul,on pose un = pn – p .
Calculer un+1 en fonction de un. En déduire les expressions en fonction de n de un et de pn
c) Donner la limite de (pn) .
• Sur un mois, la machine tombe au plus une fois en panne ;
• Si pendant le mois « n » la machine n’a pas de panne, la probabilité qu’elle en ait une le mois suivant « n+1 » est 0,24 ;
• Si la machine tombe en panne le mois « n "(ce qui entraîne sa révision), la probabilité qu’elle tombe en panne le mois suivant « n+1 » est 0,04 ;
• La probabilité que la machine tombe en panne le premier mois après sa mise en service est 0,1 .
On désigne par En l’événement : « La machine tombe en panne le n-ième mois suivant sa mise en service » ; on note pn la probabilité de En (et on a ainsi p1 = 0,1 ). Fn est son évenement contraire
1) a) Donner les valeurs numériques des probabilités de « En+1 sachant En » et de « En+1 sachant Fn » .
Exprimer alors les probabilités de « En+1 et En » et de « En+1 et Fn » en fonction de pn .
2) montrer alors que pour tout entier naturel n non nul, on a : pn+1 = 0,24 - 0,2pn
3) a) Résoudre l’équation p = 0,24 – 0,2p .
b) Pour tout entier naturel n non nul,on pose un = pn – p .
Calculer un+1 en fonction de un. En déduire les expressions en fonction de n de un et de pn
c) Donner la limite de (pn) .