Exercice 5 : (probabilités conditionnelles et suites) Pour analyser le fonctionnement d’une machine d’atelier, on note, mois après mois, ses pannes et on remarque que : • Sur un mois, la machine tombe au plus une fois en panne ; • Si pendant le mois « n » la machine n’a pas de panne, la probabilité qu’elle en ait une le mois suivant « n+1 » est 0,24 ; • Si la machine tombe en panne le mois « n "(ce qui entraîne sa révision), la probabilité qu’elle tombe en panne le mois suivant « n+1 » est 0,04 ; • La probabilité que la machine tombe en panne le premier mois après sa mise en service est 0,1 . On désigne par En l’événement : « La machine tombe en panne le n-ième mois suivant sa mise en service » ; on note pn la probabilité de En (et on a ainsi p1 = 0,1 ). Fn est son évenement contraire 1) a) Donner les valeurs numériques des probabilités de « En+1 sachant En » et de « En+1 sachant Fn » . Exprimer alors les probabilités de « En+1 et En » et de « En+1 et Fn » en fonction de pn . 2) montrer alors que pour tout entier naturel n non nul, on a : pn+1 = 0,24 - 0,2pn 3) a) Résoudre l’équation p = 0,24 – 0,2p . b) Pour tout entier naturel n non nul,on pose un = pn – p . Calculer un+1 en fonction de un. En déduire les expressions en fonction de n de un et de pn c) Donner la limite de (pn) .