Réponse :

Exercice 6

1) Soit u et v deux fonctions définies, strictement croissantes sur un intervalle I. Que dire du sens de variation de leur somme u+v sur I? Le démontrer

u est strictement croissante sur I  ⇔ u'(x) > 0

v est strictement croissante sur I  ⇔ v'(x) > 0

(u + v)' = u' + v'   or u' > 0  et v' > 0 donc u' + v' > 0 ⇔ (u + v)' > 0

donc (u + v) est strictement croissante SUR I

2) la photo

Spécialité 1ère

u(x) = x²  et v(x) = - 1/x    définie sur ]0 ; + ∞[

f(x) = x² - 1/x    définie sur  ]0 ; + ∞[

f(x) = u(x) + v(x)   donc  f '(x) = (u(x) + v(x))' = u'(x) + v'(x)

la fonction u est dérivable sur R  et la fonction v est dérivable sur ]0;+∞[

donc la fonction somme  qui est f est dérivable sur ]0 ; + ∞[

u'(x) = 2 x   et v'(x) = - (- 1/x²) = 1/x²

donc (u+v)' = 2 x + 1/x²    or x > 0  donc 2 x > 0 et 1/x² > 0

DONC  2 x + 1/x² > 0 ⇔ (u + v) ' > 0  ⇒ f est strictement croissante sur

]0 ; + ∞[  

Explications étape par étape :