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Explications étape par étape :

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Bonjour

f est une fonction rationnelle définie et dérivable sur R\{3}

u(x) = 2x² + 7x + 10

u'(x) = 4x + 7

v(x) = x+3

v'(x) = 1

f' = (u'v-uv')/v²

[tex]f'(x)=\frac{(4x+7)(x+3)-1(2x^2+7x+10)}{(x+3)^2} \\\\f'(x)=\frac{4x^2+19x+21-2x^2-7x-10}{(x+3)^2}\\ \\f'(x)=\frac{2x^2+12x+11}{(x+3)^2}\\[/tex]

Etudions le signe de f'(x):

(x+3)² > 0 pour tout x de R\{3}

f' est du signe du 2x² + 12x + 11

Δ = 12²-4×2×11 = 56

x₁ = (-12-√56)/4 = (-6-√14)/2

x₂ = (-12+√56)/4 = (-6+√14)/2

x       |-∞       (-6-√14)/2      -3          (-6+√14)/2      +∞|

------------------------------------------------------------------------|

f'(x)   |       +         0     -       ||      -           0           +      |

------------------------------------------------------------------------|

      |               f(x₁)             ||                                        |

   f  |       [tex]\nearrow[/tex]             [tex]\searrow[/tex]       ||        [tex]\searrow[/tex]                  [tex]\nearrow[/tex]       |

      |                                  ||             f(x₂)                    |

------------------------------------------------------------------------|

avec f(x₁) = -5-2√14 ≈  -12,5 et f(x₂) = -5+2√14 ≈ 2,5

b) On a y =f'(2)(x-2)+f(2)

avec f'(2) = (2×2²+12×2+11)/(2+3)² = 1,72

et f(2) = 6,4

y = 1,72(x-2) + 6,4

y = 1,72x + 2,96

L'equation de la tangente à Cf au point d'abscisse -2 est y = 1,72x + 2,96

c)

[tex]ax + b + \frac{c}{x+3}=\frac{(ax+b)(x+3) +c}{x+3} \\ax + b + \frac{c}{x+3}=\frac{ax^2+3ax+bx+3b +c}{x+3} \\\\ax + b + \frac{c}{x+3}=\frac{ax^2+(3a+b)x+3b +c}{x+3} \\[/tex]

en comparant les numérateurs on a :

a = 2

3a + b = 7

3b + c = 10

on en deduit

a = 2

b = 1

c = 7

[tex]f(x)=2x+1+\frac{7}{x+3}[/tex]

d)

Etudions le signe de f(x) - (ax+b)

[tex]2x+1+\frac{7}{x+3}-(2x+1)=\frac{7}{x+3}[/tex]

7>0

x+3 > 0 pour x > -3

x+3< 0 pour x < -3

f(x) - (ax+b) > 0 pour x > -3

f(x) - (ax+b) <0 pour x < -3

Cf est au dessus de Δ pour  x > -3

Cf est en dessous de Δ pour  x < -3

Explications étape par étape :