Réponse:

Tout d'abord est ce que tu peux mettre meilleur commentaire ça m'aidera beaucoup

Explications étape par étape:

Voici une proposition de solution pour cet exercice :

On a AB = AM + MB et AB = BN + NC, car M et N sont respectivement sur (AC) et (BC), et ACB est un demi-cercle de diamètre [AB].

On a donc :

AM = AB - MB

BN = AB - NC

En remplaçant AM et BN dans l'expression à calculer, on obtient :

AM.AC + BN.BC = (AB-MB).AC + (AB-NC).BC

= AB.AC - MB.AC + AB.BC - NC.BC

= AB(AC+BC) - MB.AC - NC.BC

Il nous reste donc à trouver MB et NC en fonction de AB.

On peut utiliser le théorème de Pythagore dans les triangles AMB et BNC, qui sont rectangles en M et N respectivement :

AM² + MB² = AB²

BN² + NC² = AB²

En isolant MB² et NC², on obtient :

MB² = AB² - AM²

NC² = AB² - BN²

En remplaçant MB² et NC² dans l'expression précédente, on obtient finalement :

AM.AC + BN.BC = AB(AC+BC) - AC.(AB² - AM²) - BC.(AB² - BN²)

= AB² - AC.AM - BC.BN

On a donc trouvé une expression en fonction de AB uniquement.

Pour vérifier que l'expression est correcte, on peut utiliser un exemple numérique : si AB = 5, AC = 3 et BC = 4, on a d'après le théorème de Pythagore : AM = 4, BN = 3, et on trouve bien AM.AC + BN.BC = 12 + 15 = 27. En utilisant l'expression calculée précédemment, on trouve également : AB² - AC.AM - BC.BN = 25 - 12 - 15 = 27, ce qui confirme que l'expression est correcte.