EXERCICIO 3
O estudo de problemas envolvendo o cálculo de valores de máximos e mínimos locais ou globais de uma função também é conhecido como estudo de problemas de otimização. Geralmente os problemas de otimização buscam responder perguntas como “qual quantidade de produto deve ser comercializada para obter o lucro máximo?” ou “qual deve ser a quantidade de material utilizada para minimizar os custos de produção de uma embalagem?”, entre outros.
Resolva o seguinte problema de otimização:
Dada uma placa de papelão quadrada de lado 10 m, deseja-se construir a partir desta placa uma caixa, sem tampa. Qual deve ser a altura aproximada da caixa de modo que ela apresente o maior volume possível? Assinale a alternativa correta:
Alternativas
Alternativa 1: 1,67 m
Alternativa 2: 5,00 m
Alternativa 3: 3,33 m
Alternativa 4: 2,67 m
Alternativa 5: 1,80 m
O estudo de problemas envolvendo o cálculo de valores de máximos e mínimos locais ou globais de uma função também é conhecido como estudo de problemas de otimização. Geralmente os problemas de otimização buscam responder perguntas como “qual quantidade de produto deve ser comercializada para obter o lucro máximo?” ou “qual deve ser a quantidade de material utilizada para minimizar os custos de produção de uma embalagem?”, entre outros.
Resolva o seguinte problema de otimização:
Dada uma placa de papelão quadrada de lado 10 m, deseja-se construir a partir desta placa uma caixa, sem tampa. Qual deve ser a altura aproximada da caixa de modo que ela apresente o maior volume possível? Assinale a alternativa correta:
Alternativas
Alternativa 1: 1,67 m
Alternativa 2: 5,00 m
Alternativa 3: 3,33 m
Alternativa 4: 2,67 m
Alternativa 5: 1,80 m
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Resposta:Resposta correta é a Alternativa 1 = 1,67m
Explicação passo a passo:
Aplicando os conceitos de derivada primeira e derivada segunda para obter máximos e mínimos de funções temos que a alternativa correta é 1,67 m.
Derivada - Máximos e Mínimos
Para responder a esta questão será necessário modelar o problema a partir de uma função polinomial de grau 3 e em seguida determinar por meio de suas derivadas os pontos de máximo e mínimo.
Inicialmente iremos retirar quadrados de lado "x" dos quatro cantos da placa de papelão quadrada, pois ao dobrarmos as abas teremos uma caixa com as seguintes dimensões:
Dessa forma, como o volume de um paralelepípedo reto retângulo é dado pelo produto das três dimensões teremos:
V = a . b . c
V = (10 - 2x) . (10 - 2x) . x
V = 4x³ - 40x² + 100x
Como temos o volume "V" da caixa em função da sua altura "x" basta verificarmos quais são os pontos de máximo e mínimo dessa função igualando a sua derivada a zero.
V = 4x³ - 40x² + 100x
V' = 12x² - 80x + 100 = 0 ⇒ x' = 5/3 ou x'' = 5
Agora aplicamos o teste da derivada segunda para identificar se o ponto é de máximo ou de mínimo.
V = 4x³ - 40x² + 100x
V' = 12x² - 80x + 100
V'' = 24x - 80
Como desejamos o maior volume possível, este ocorre para x = 5/3 ≈ 1,67 m.
Para saber mais sobre Máximos e Mínimos acesse:
https://brainly.com.br/tarefa/54042690
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