Bonjour !

Le corps de masse m suit une trajectoire verticale selon l'axe [tex]\vec{u_x}[/tex].

Il n'est soumis qu'à une seule force : son poids [tex]\vec P=m\vec g = -mg\vec u_x[/tex]

De plus, on a :

[tex]\vec a = \ddot x u_x +\underbrace{ \ddot y \vec u_y + \ddot z\vec u_z}_{=\vec 0}[/tex]

Soit [tex]\vec a = \ddot x \vec u_x[/tex]

Etablissement des équations horaires :

- Loi de quantité de mouvement :

[tex]m\vec a = \vec P[/tex]

[tex]m\ddot x\vec u_x= -mg\vec u_x[/tex]

On peut simplifier par m :

[tex]\ddot x \vec u_x = -g\vec u_x[/tex]

- Projection sur l'axe [tex](O, \vec u_x)[/tex] :

[tex]\boxed {\ddot x(t) =-g}[/tex]

On intègre :

[tex]\dot x(t)=-gt+k[/tex] où k est une constante d'intégration

A t=0s,  [tex]\dot x(0)=v_0[/tex] donc [tex]k=v_0[/tex].

[tex]\boxed{\dot x(t)=-gt+v_0}[/tex]

On intègre à nouveau :

[tex]x(t)=-\frac{1}{2} gt^2+v_0t+k'[/tex] où k' est une constante d'intégration.

A t=0s,  [tex]x(0)=0[/tex] d'où k'=0

[tex]\boxed{x(t)=-\frac{1}{2} gt^2+v_0t}[/tex]

Réponse aux questions :

a) Lorsque la hauteur maximale est atteinte, la vitesse du corps s'annule.

On cherche donc t tel que [tex]\dot x (t)=0[/tex]

[tex]-gt+v_0=0\\\iff \boxed{t=\frac{v_0}{g}}[/tex]

En faisant l'application numérique, on trouve t = 20.38s. (Penser à convertir [tex]v_0[/tex] en m/s)

=> La hauteur maximale est atteinte à t=20.38s.

On calcule [tex]x(20.38)[/tex] et on trouve 2838.74m

La hauteur maximale atteinte est de 2838.74m.

b) Le temps de montée est de 20.38s (cf question a)

c) On cherche le moment où le corps revient à son point de lancement, c'est à dire l'instant t tel que [tex]x(t)=0[/tex]

[tex]-\frac{1}{2} gt^2+v_0t=0\\\iff t(-\frac{1}{2} gt+v_0)=0\\\iff t=0\ ou\ \boxed{t=\frac{2v_0}{g} }[/tex]

En faisant l'application numérique, on trouve t = 40.78s. (La solution t=0 correspond au lancement, ce qui ne nous intéresse pas dans cette question)

=> Il lui faut 40.78s pour revenir au point de lancement.

d) On calcule la vitesse du corps à t=40.78s, c'est à dire [tex]\dot x(40.78)[/tex] et on trouve 200m/s.

Bonne journée