Bonjour, pouvez vous m'aider pour mon devoirs s'il vous plait :
Le mathématicien suisse Leonhard Euler était considéré comme l'un des plus grands mathématicien de tous les temps. L'objet de cette exercice est de montrer que dans tous les triangles, le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité et l'orthocentre sont alignés sur une droite. Cette droite est appelée droite d'Euler du triangle.
On considère :
- Un triangle ABC
- Le point A1 milieu de [BC]
- H est l'orthocentre
- G est le centre de gravité
- O est le centre du cercle circonscrit
- est le cercle circonscrit "gamma"
- D est le symétrique de A par rapport à O.
1) Rappeler comment sont obtenus les points O, G et H dans le triangle.
2) Montrez que D appartient à
3) a) D'après 2, que représente [AD] pour le cercle
b) En déduire la nature du triangle ABD
c) En déduire que (BD) et (HC) sont parallèles
4) Démontrer de manière analogue que (CD)//(HB)
5) a) Déduire de 3 et 4, la nature de quadrilatère BHCD
b) En déduire que A1 est le milieu de [HD]
c) Qu'en déduit-on alors pour la droite (AA1) dans le triangle AHD ?
6) a) Que représente le point G dans le triangle AHD ?
b) Conclure sur l'alignement de O, G et H
Le mathématicien suisse Leonhard Euler était considéré comme l'un des plus grands mathématicien de tous les temps. L'objet de cette exercice est de montrer que dans tous les triangles, le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité et l'orthocentre sont alignés sur une droite. Cette droite est appelée droite d'Euler du triangle.
On considère :
- Un triangle ABC
- Le point A1 milieu de [BC]
- H est l'orthocentre
- G est le centre de gravité
- O est le centre du cercle circonscrit
- est le cercle circonscrit "gamma"
- D est le symétrique de A par rapport à O.
1) Rappeler comment sont obtenus les points O, G et H dans le triangle.
2) Montrez que D appartient à
3) a) D'après 2, que représente [AD] pour le cercle
b) En déduire la nature du triangle ABD
c) En déduire que (BD) et (HC) sont parallèles
4) Démontrer de manière analogue que (CD)//(HB)
5) a) Déduire de 3 et 4, la nature de quadrilatère BHCD
b) En déduire que A1 est le milieu de [HD]
c) Qu'en déduit-on alors pour la droite (AA1) dans le triangle AHD ?
6) a) Que représente le point G dans le triangle AHD ?
b) Conclure sur l'alignement de O, G et H
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1) Rappeler comment sont obtenus les points O, G et H dans le triangle. O, centre du cercle circonscrit au triangle est le point de concours des médiatrices des côtés.
H, orthocentre est le point de concours des hauteurs
G, centre de gravité est le point de concours des médianes
2) D est le symétrique de A par rapport à O
pour obtenir D on joint A à O et on prolonge d'une longueur égale. On obtient le point diamétralement opposé à A sur le cercle.
termine le dessin
3)
a) d'après 2, [AD] est un diamètre du cercle
b) le triangle ABD a pour hypoténuse le diamètre [AD], il est rectangle en B
c) (BD) est perpendiculaire à (AB) car le triangle ABD est rectangle en B
(HC) est perpendiculaire à (AB) car c'est la hauteur relative au côté AB
les droites BD et HC perpendiculaires à la même droite AB sont parallèles
(BD) // (HC)
4)
a) [AD] diamètre
b) triangle ACD rectangle en C
c) (CD) perpendiculaire à (AC) triangle rectangle
(HB) perpendiculaire à (AC) hauteur
(CD) // (HB)
5)
a) d'après 3) et 4) le quadrilatère BHCD a les côtés opposés parallèles deux à deux. C'est un parallélogramme.
b) Dans ce parallélogramme les diagonales [BC] et [HD] ont le même milieu. Comme A₁ est le milieu de [BC], c'est aussi le milieu de [HD]
c) dans le triangle AHD, A₁ est le milieu de côté [HD]. AA₁ est la médiane relative au côté [HD]
6)
a) Le centre de gravité d'un triangle est situé sur chaque médiane à 2/3 du sommet (ou à 1/3 de la base). G centre de gravité du triangle ABC est à 2/3 de A, mais comme AA₁ est aussi médiane de AHD, G est le centre de gravité de AHD.
b) Dans le triangle AHD, H est un sommet, G est le centre de gravité. La droite HG est une seconde médiane elle va passer par le milieu du côté opposé [AD] or ce milieu c'est O
Le droite HG passe par O