Bonjour pouvez vous m’aider pour cette exercice de mathématique svp.
On s'intéresse à la position relative des courbes repré-
sentatives des fonctions f: x→
1/x
et g: x=>x².
1. a. Tracer les courbes représentatives des fonctions f
et g.
b. Conjecturer la position relative de ces courbes.
2. Montrer que, pour tout x<0, f(x) g(x)
f(x)
3. Pour x>0, on définit h: x→g(x)/h(x)
a. Montrer que h(1) = 1.
b. Montrer que pour tout x appartient à ]0; 1[, h(x) <1 et en
déduire que g(x) c. Montrer que pour tout x>1, h(x) > 1 et en déduire
que g(x) >f(x).
4. Conclure.
On s'intéresse à la position relative des courbes repré-
sentatives des fonctions f: x→
1/x
et g: x=>x².
1. a. Tracer les courbes représentatives des fonctions f
et g.
b. Conjecturer la position relative de ces courbes.
2. Montrer que, pour tout x<0, f(x) g(x)
f(x)
3. Pour x>0, on définit h: x→g(x)/h(x)
a. Montrer que h(1) = 1.
b. Montrer que pour tout x appartient à ]0; 1[, h(x) <1 et en
déduire que g(x) c. Montrer que pour tout x>1, h(x) > 1 et en déduire
que g(x) >f(x).
4. Conclure.
Lista de comentários
Réponse :
1.a. Les courbes représentatives des fonctions f(x)=1/x et g(x)=x² sont tracées ci-dessous :
Courbes f(x) et g(x)
b. On peut conjecturer que la courbe représentative de la fonction g est au-dessus de celle de la fonction f pour x>0, et en dessous pour x<0.
Soit x<0. Alors f(x)=1/x<0 et g(x)=x²>0, donc f(x) < g(x).
3.a. On a h(1)=g(1)/h(1)=1, car g(1)=1²=1.
b. Pour tout x appartient à ]0; 1[, on a g(x)<1 car g est décroissante sur cet intervalle. De plus, h(x)=g(x)/h(x) > g(x)/1=g(x). Ainsi, g(x) < h(x) < 1, et donc g(x) < 1.
c. Pour tout x>1, on a h(x)=g(x)/h(x) > g(x)/g(x²)=1/x². De plus, f(x)=1/x < 1/x², donc f(x) < h(x). Ainsi, g(x) > h(x) > f(x).
On peut conclure que la courbe représentative de la fonction g est au-dessus de celle de la fonction f pour x>0, et en dessous pour x<0. De plus, la fonction g est strictement supérieure à la fonction f pour x>1, et strictement inférieure pour x<0. Entre 0 et 1, la fonction g est inférieure à la fonction f.
Explications étape par étape :
Pouvez vous m’éclairer ?