Réponse :

Bonsoir, si les pissenlits envahissent 20% de la pelouse il reste 80% avant l'arrachage de 250m²qui sont remis en pelouse

Explications étape par étape :

1)PO=5000

P1=0,8*5000+250=4250

P2=0,8 *P1+250=0,8*4250+250=3650

2) la suite Pn est une suite récurrente

P(n+1)=0,8Pn+250

3a) Vn=Pn-1250 La suite Vn est géométrique si V(n+1)/Vn=Cste

V(n+1)=P(n+1)-1250=0,8Pn+250-1250=0,8Pn-1000

on factorise 0,8 et alors V(n+1)=0,8(Pn-1250

On note que V(n+1)/Vn=0,8

La suite Vn est géométrique de raison q=0,8 avec V0=P0-1250=3750

Vn=3750*(0,8)^n

3c) On sait que Vn=Pn-1250donc Pn=Vn+1250

Expression de Pn

Pn=3750*(0,8)^n+1250

Vérification si n=0 Po=3750+1250=5000 si n=1 ,P1=3750*0,8+250=4250

4) Limite de la suite Pn=3750*0,8^n+1250. Quand n tend vers +oo, 0,8^n tend vers 0 donc Pn tend vers 1250

P(n+1)-Pn=3750[0,8^(n+1)-0,8^n], n  appartenant à N, 0,8^(n+1)est <0,8^n

donc P(n+1)<Pn Elle est donc décroissante.

5)Aire au bout de la 10ème année : P10=3750*0,8^10 +1250=1653 m² environ

6) Elle ne sera jamais inférieure à 1000m² car la limite est 1250m²

Si tu essaies de résoudre 3750*0;8^n+1250<1000

soit 3750*0,8^n<-250

ceci est impossible car 3750*0,8^n est toujours >0