Réponse :

Explications étape par étape

1)calculs: u1=7/5  v1=8/5  u2=37/25 et v2=38/25

2)a) (dn) = vn - un donc (dn+1)=vn +1 - u n+1=( 2un + 3vn)/5 _ (3un + 2vn) /5

                                                                   =2un/5 +3vn/5-3un/5 - 2vn/5

                                                                   = 2un/5 - 3un/5  + 3vn/5 - 2vn/5

                                                                   = - un/5 + vn/5 = vn/5 - un/5

                                                                     =1/5(vn - un)   or vn - un=(dn)

                                                 donc (dn+1) = 1/5 (dn)

la suite (dn) par définition est une suite géométrique de raison :1/5

1er terme: (d0)= v0 - u0   d(0) =v0-u0=2 -1 = 1

b) par définition 1 suite géométrique s'écrit dn= d0x q^n

                                                            donc   dn=  1 x (1/5)^n   dn=(1/5)^n

3)Sn = un + vn     calculer S0,S1, S2  on trouve toujours le résultat : 3

On peut penser que cette suite est constante

b)S(n+1)=un+1 + vn+1= (3un + 2vn)/5 +( 2un + 3vn)/5

                                 =3un/5 + 2vn/5 + 2un/5 + 3vn/5

                                  =5un/5 + 5vn/5 =5(un +vn)/5

                                   = un + vn =Sn

4)résoudre le système: un + vn =3 et vn - un = (1/5)^n  (c'est dn)

on ajoute mbre à membre on obtient : 2vn=3 + (1/5)^n  vn=3/2+1/2x( 1/5)^n

calcul de un=3-vn= 3-3/2+ 1/2x (1/5)^n=3/2 + 1/2x (1/5)^n