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1/ Soit (u), la suite définie sur N par un+1 = un + √2
a) Calcul de u0 et u1: u0 = 16 u1 = u0 + √2 = 16 + √2
b) Calcul de Un - Ug, Uz - u1, U1: Ug = u0 + (n-1) * (√2) Un - Ug = un - (u0 + (n-1) * (√2)) = - (n-1) * (√2) + √2 Uz - u1 = u0 - u1 = 16 - (16 + √2) = -√2 U1 = u0 + √2
c) La suite (u) n'est ni arithmétique ni géométrique. En effet, on peut le vérifier en calculant la différence entre deux termes consécutifs de la suite:
un+1 - un = (√2)
On constate que le résultat est constant, mais il ne correspond ni à une raison d'une suite géométrique, ni à une différence d'une suite arithmétique.
2/ Soit (v) la suite définie sur N par vn = Un - 1
a) Montrons que n+1 = Un: vn+1 = Un+1 - 1 = (Un + √2) - 1 = Un + (√2 - 1) = (Un - 1) + √2 = vn + √2 Donc, on a vn+1 = vn + √2, ce qui montre que (v) est arithmétique de raison √2.
b) Le premier terme de la suite (v) est v0 = U0 - 1 = 16 - 1 = 15.
c) Exprimons Un et un en fonction de n: Un = vn + 1 = 15 + (n+1) * (√2) un = Un - √2 = 15 + (n+1) * (√2) - √2
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a) Calcul de u0 et u1:
u0 = 16
u1 = u0 + √2 = 16 + √2
b) Calcul de Un - Ug, Uz - u1, U1:
Ug = u0 + (n-1) * (√2)
Un - Ug = un - (u0 + (n-1) * (√2)) = - (n-1) * (√2) + √2
Uz - u1 = u0 - u1 = 16 - (16 + √2) = -√2
U1 = u0 + √2
c) La suite (u) n'est ni arithmétique ni géométrique. En effet, on peut le vérifier en calculant la différence entre deux termes consécutifs de la suite:
un+1 - un = (√2)
On constate que le résultat est constant, mais il ne correspond ni à une raison d'une suite géométrique, ni à une différence d'une suite arithmétique.
2/ Soit (v) la suite définie sur N par vn = Un - 1
a) Montrons que n+1 = Un:
vn+1 = Un+1 - 1 = (Un + √2) - 1 = Un + (√2 - 1) = (Un - 1) + √2 = vn + √2
Donc, on a vn+1 = vn + √2, ce qui montre que (v) est arithmétique de raison √2.
b) Le premier terme de la suite (v) est v0 = U0 - 1 = 16 - 1 = 15.
c) Exprimons Un et un en fonction de n:
Un = vn + 1 = 15 + (n+1) * (√2)
un = Un - √2 = 15 + (n+1) * (√2) - √2