Re bonjour ,

1)

Les limites en l'infini d'un polynôme sont données par les limites du terme de plus haut degré.

lim f(x)=lim (-x³)=-(-∞)=+∞

x--->-∞

lim f(x)=lim (-x³)=-(+∞)=∞-∞

x--->+∞

2)

f '(x)=-3x²+18x-24 qui est >  0 entre ses racines car le coeff de x² est < 0.

Racines :

Δ=18²-4(-3)(-24)=36

√36=6

x1=(-18+6)/-6=2

x2=(-18-6)/(-6)=4

Variation :

x------>-∞...............................2............................4.................+∞

f '(x)-->...........-.......................0............+..............0........-........

f(x)---->+∞.......D...................-8...........C.............-4...............-∞

D=flèche vers le bas et C=flèche vers le haut.

On rentre la fct dans la calculatrice pour avoir f(2) et f(4). OK ?

3)

On résout f '(x)=-9.

Soit :

-3x²+18x-24=-9

-3x²+18x-15=0

On simplifie par "-3" :

x²-6x+5=0

x=1 est racine évidente car 1²-6*1+5=0

Donc :

x²-6x+5=(x-1)(x-5)

Donc on a 2 tgtes dont le coeff directeur est -9 en x=1 et x=5.

f(1)=-4 et f(5)=-8

Donc aux points (1;-4) et (5;-8).

4)

a)

f(0)=12 et f(1)=-4

D'après le tableau de variation , sur [0;1] , f(x) est continue et strictement décroissante passant de la valeur 12 pour x=0 à la valeur -4 pour x=1. Donc d'après le Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) , il existe un unique réél xo tel que f(xo)=0.

b)

La calculatrice donne :

f(0.6)=0.624 > 0

f(0.7)=-0.733 < 0

Donc :

xo ≈ 0.7 ( à 0.1 près)

5)

a)

f '(x)=-3x²+18x-24

f "(x)=-6x++18

b)

-6x + 18 > 0

6x < 18

x < 3

Sur ]-∞;3[  : f " > 0 donc f(x)convexe.

Sur ]3;+∞[ : f "(x) < 0 donc f(x) concave.

c)

En x=3 , f "(x) s'annule en changeant de signe .

f(3)=-6

Donc le point I(3;-6) est un point d'inflexion pour Cf.

d)

Equation tgte en x=3 :

y=f '(3)(x-3)+f(3)

f '(3)=-3(3²)+18(3)-24=3

f(3)=-6

y=3(x-3)-6

y=3x-15