Bonsoir,

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Développer et factoriser une expression.

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Il est primordial de savoir qu'une expression développée est une expression sous la forme d'une somme et qu'une expression factorisée est une expression sous la forme d'un produit.

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a) Démonstration

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[tex] \sf {(15x - 6)}^{2} = 9(5x - 2) ^{2} [/tex]

Pour montrer que cette égalité est vraie, nous allons devoir développer les deux membres de l'équation en faisant notamment appel à une identité remarquable qui est la suivante:

[tex] \sf {( \green{a} - \blue{b})}^{2} = { \green{a}}^{2} - 2 \green{a} \blue{b} + { \blue{b}}^{2} [/tex]

[tex] \\ [/tex]

Dans le membre de gauche, on obtient :

[tex]\sf {(\underbrace{ \green{15x}}_{\green{a}} - \underbrace{ \blue{6}}_{\blue{b} })}^{2} \\ \\ \sf= ( \green{15x}) ^{2} - 2 \times \green{15x} \times \blue{6} + { \blue{6}}^{2} \\ \sf = 225 {x}^{2} - 180x + 36 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: [/tex]

[tex] \\ [/tex]

Dans le membre de droite, nous obtenons:

[tex]\sf 9{(\underbrace{ \green{5x}}_{\green{a}} - \underbrace{ \blue{2}}_{\blue{b} })}^{2} \\ \\ = \sf9(( \green{5x} )^{2} - 2 \times \green{5x} \times \blue{2} + { \blue{2}}^{2} ) \\ \sf = 9(25 {x}^{2} - 20x + 4) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf = 225 {x}^{2} - 180x + 36 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: [/tex]

[tex] \\ [/tex]

De ce fait, nous pouvons conclure que:

[tex] \sf {(15x -6 )}^{2} = 225 {x}^{2} - 180x + 36 = 9 {(5x - 2)}^{2} \\ \\ \sf \: \implies \red{ \boxed{ \sf {(15x -6 )}^{2} = 9 {(5x - 2)}^{2} \: }}[/tex]

[tex] \\ \\ [/tex]

b) Factorisation par un facteur commun.

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On nous donne l'expression suivante:

[tex] \sf C = {(15x - 6)}^{2} + (10x - 4)(3x + 2)[/tex]

[tex] \\ [/tex]

À première vue, aucun facteur commun ne peut nous permettre de factoriser l'expression. En effet, la consigne nous éclaire beaucoup! C'est à nous de le faire apparaître et tu vas voir, il n'y a rien de très compliqué.

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Dans la question précédente, nous avons démontré que (15x - 6)² = 9(5x - 2)² et étrangement, le facteur que nous sommes censés utiliser apparaît...

[tex] \sf C = {(15x - 6)}^{2} + (10x - 4)(3x + 2) \\ \sf C = 9 {(5x - 2)}^{2} + (10x - 4)(3x + 2) \: \: [/tex]

[tex] \\ [/tex]

Et voilà, nous y sommes presque, il ne nous reste plus qu'à faire apparaître (5x - 2) dans la partie droite de la somme.

[tex]\sf C = 9 {(5x - 2)}^{2} + (10x - 4)(3x + 2) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf C = 9 {(5x - 2)}^{2} + ( \purple{2} \times 5x - \purple{2} \times 2)(3x + 2) \\ \sf C = 9 {(5x - 2)}^{2} + \purple{2}(5x - 2)(3x + 2) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf C = 9 {\underbrace{\orange{(5x - 2)}}_{\orange{fac.com}}}^{2} + 2\underbrace{\orange{(5x - 2)}}_{\orange{fac.com}}(3x + 2) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: [/tex]

[tex] \\ [/tex]

Et maintenant, on factorise:

[tex] \sf C = 9 \orange{(5x - 2)} ^{2} + 2\orange{(5x - 2)} (3x + 2) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf C = 9 \orange{(5x - 2)}(5x - 2) + 2\orange{(5x - 2)} (3x + 2) \\ \\ \sf C = \orange{(5x - 2)}(9(5x - 2) + 2(3x + 2)) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \sf C = \orange{(5x - 2)}(45x - 18 + 6x + 4) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{\boxed{ \sf C = \orange{(5x - 2)}(51x - 14)}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: [/tex]

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▪️Si tu souhaites en apprendre plus sur la factorisation d'une expression à partir d'un facteur commun, je te conseille de consulter le lien suivant :

↣https://nosdevoirs.fr/devoir/5132259

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Bonne soirée.