Aftershock Exercice 1

1) Si f(x) = 3x²+x-2
Alors si x = 0

f(0) = 3*0²+0-2
f(0) = -2

La courbe représentative de f doit donc passer par -2 en x = 0 donc la représentation de f est bien C1.

2) f(x) = 0 pour x = -1 et pour x = 0,5
g(x) = 4 pour x = -1 et pour x = 2
f(x) = g(x) pour x = -2 et x = 1

3) g(x)-4 = (x-2)(x+1)
Alors 
g(x) = (x-2)(x+1)+4
g(x) = x²+x-2x-2+4
g(x) = x²-x+2

L'égalité est donc vérifiée.

Si x²-x+2 = (x-2)(x+1)+4

Alors g(x) = 4 revient à résoudre (x-2)(x+1)+4 = 4

(x-2)(x+1)+4 = 4
(x-2)(x+1) = 0
Soit x-2 = 0
x = 2
Soit x+1 = 0
x = -1

4) f(x)-g(x) = 3x²+x-2-(x²-x+2)
f(x)-g(x) = 2x²+2x-4

Or 2(x-1)(x+2) = (2x-2)(x+2)
⇔ 2x²+4x-2x-4
⇔ 2x²+2x-4

L'égalité est donc vérifiée.

Pour résoudre l'équation f(x) = g(x) je résous f(x)-g(x) = 0
2(x-1)(x+2) = 0
Soit x-1 = 0
x = 1
Soit x+2 = 0
x = -2

5) On sait que 2(x-1)(x+2) représente la différence entre f(x) et g(x) donc si la fonction est négative, cela veut dire que f(x) > g(x) et inversement.

La variation de 2(x-1)(x+2) est :

Sur ]-∞ ; -2[ positif (+)
Sur [-2 ; 1] négatif (-)
Sur ]1 ; +∞[ positif (+)

f(x) est donc supérieur à g(x) sur [-2 ; 1].

6) Pour retrouver ce résultat graphiquement, il suffit de regarder sur quelle intervalle de x la représentation de la fonction f est "en dessous" de la représentation de g.

Exercice 2 :

1) On sait qu'il n'est pas possible de diviser par zéro, or dans cette équation certaines valeurs que peut prendre x risque de rendre nulle cette dernière. Ces valeurs sont dites "interdites".

L'équation (x-1)(x+3) est donc nulle si x = 1 ou si x = -3

De plus on sait que lors d'une résolution d'équation, il et possible de multiplier les 2 termes avec la même valeur. 
En multipliant les 2 termes de l'équation par (x-1)(x+3) on obtient :
2x²+3x-5 = 2(x-1)(x+3)

2) 2x²+3x-5 = 2(x-1)(x+3)
2x²+3x-5 = (2x-2)(x+3)
2x²+3x-5 = 2x²+6x-2x-6
-x = -1
x = 1

x = 1 étant une valeur interdite, cette équation n'a pas de solution.

Exercice 3 :

1) Nous avons la mise en équation suivante :

y+2x+(y+2) = 50
2y+2x = 52
y+x = 26
y = 26-x

L'égalité est donc vérifiée.

2) On sait que la formule de l'aire d'un rectangle est Longueur*largeur
On a donc la fonction suivante :
A(x) = x*(y+2)

Or on sait que y = 26-x donc :
A(x) = x*(26-x)
A(x) = -x²+26x

3) 169-(x-13)² = 169-(x²-26x+169)
⇔ 169-x²+26x-169
⇔ -x²+26x

L'égalité est donc vérifiée.

4) A(x) ≤ 169
169-(x-13)² ≤ 169
-(x-13)² ≤ 0
(x-13)² ≥ 0

Or, le carré d'un nombre est toujours positif donc A(x) est supérieure ou égale à 0 sur l'ensemble des réels.

L'égalité est vérifiée.

Si A(x) ≤ 169, alors on sait que la fonction admet un maximum en 169.

5) Je résous A(x) = 169
169-(x-13)² = 169
-(x-13)² = 0
(x-13)² = 0
x-13= 0 
x = 13
De plus, on sait que y = 26-x
Donc y = 26-13
y = 13


On sait que x représente la longueur de l'enclos et que y représente l'autre côté de l'enclos où figure le trou de 2m.

Les dimensions maximales sont donc de 13*15m

Exercice 4 :

1) La formule de calcul de l'aire d'un rectangle prend en compte la longueur et la largeur de ce dernier et fait le produit entre eux pour l'obtenir.

2) 80l-0,4L-32 = 0
-0,4L = -80l+32
-L = -200l+80
L = 200l-80

80l-0,4(200l-80)-32 = 0
80l-80l+32-32 = 0
0 = 0

L'égalité est donc vérifiée.

3) 200l²-80l-384 = 0
100l²-40l-192 = 0

4) (10l-16)(10l+12) = 100l²+120l-160l-192
⇔ 100l²-40l-192

(Les 2 questions vont ensemble je ne comprends pas trop où ils veulent vous mener)

5) (10l-16)(10l+12) = 0
(l-1,6)(l+1,2= ) 0
Soit l-1,6 = 0
l = 1 ,6
Soit l+1,2 = 0
l = -1,2 

Une largeur ne pouvant pas être négative on a alors l = 1,6

De plus on sait que L = 200l-80
L = 200*1,6-80
L = 320-80
L = 240

La commande faite par M. Coupon est donc de 1,6m de large et 240 de long.