1) tu as plusieurs façons pour démontrer qu'une fonction est concave sur une intervalle I. J'imagine que tu les as dans ton cours; la méthode qui sera la plus simple est de dériver deux fois la fonction:

en effet f(x) est concave sur I si f''(x)≤0, c'est à dire si f'(x) est décroissant.

or f'(x)= addition de deux fonctions décroissantes donc la fonction est décroissante: sinon

f''(x)=      or     est strictement négatif de même que   donc f''(x)≤0.  et ce Pour tout x appartenant à l'intervalle ]0;+∞[

donc f(x) est concave sur ]0;+∞[

2)

f'(x)= = or est décroissant sur ]0;+∞[   car  est croissant sur cette intervalle. 

les ≥ sont en fait > simplement, je ne connais pas le moyen d'écrire juste > en mode tex

Et donc sur ]0;2] a fortiori sur [1;2] on a   et comme 8x>0 pour tout x dans ]0;+∞[  alors f'(x)≥0 pour tout x de [1;2] donc f est croissante sur cette intervalle.

3) ta fonction est croissante sur [1;2]  mais surtout elle est concave sur ]0;+∞[. Or le 3ème graphe montre une fonction convexe et non concave car si tu trace une droite entre deux points de f tu remarques que pour tout x entre les abscisses de ces deux points f est situé en dessous de cette droite.

de même pour le deuxième graphe mais seulement au début (f est convexe sur l'intervalle [1;α] où α ∈ ]1;2]

le graphique correcte est donc le premier.