Réponse :

Explications étape par étape :

1) Bénéfice = Recette - Coût

• Recette R(x) = 247x

• Coût : C(x) = x³ - 30x² + 400x +100

B(x) = R(x) - C(x) = 247x - x³ + 30x² - 400x - 100

B(x) = -x³ + 30x² - 153x -100

2) B'(x) = -3x² + 60x - 153

3) B'(x) est un polynôme du second degré :

Δ = 60² - 4*(-3)*(-153) = 1764

Ce polynôme a 2 racines réelles distinctes :

x₁ = (-60 - √1764)/(2*(-3)) = 17

x₂ = (-60 + √1764)(2*(-3)) = 3

B'(x) est du signe de (-3) donc négatif à l'extérieur de ses racines et positif à l'intérieur de ses racines.

Le tableau de signe de B'(x) est ainsi justifié.

4) Tableau de variation de B

x            0                          3                         17                            25

B'(x)                    -              0           +             0            -

B         -100 décroissante -316 croisssante  1056 décroissante -800

5) Pour réaliser un bénéfice maximal, l'entreprise doit produire et vendre chaque jour 17 pièces métalliques et ce bénéfice maximal est alors égal à 1056 €.