Le rectangle OBAC est inscrit dans le quart de cercle de
rayon 10. Ce quart de cercle correspond à la
courbe représentative de la fonction c définie sur [0;10] par
c(x)=√100-x². Quelle valeur doit prendre la longueur OC
afin que le rectangle ait un périmètre maximum ?
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Réponse :
Explications étape par étape :
Si je comprends bien, O est le centre du 1/4 de cercle sur lequel A est un point mobile.
Question = OC pour que périmètre rectangle maxi ?
Déjà, plus pratique de nommer OC par une inconnue, x.
OA, OC, OB sont des longueurs, positives.
OA vaut un rayon, soit 10.
OA est la diagonale du rectangle.
(1) On a OC²+ OB² = 10² (th de Pythagore)
x²+ OB² = 10²
(2) Périmètre = 2 (OC + OB)
= 2 (x + OB)
De (1) on peut tirer OB en fonction de x
OB² = 100 - OC²
OB = √(100 - x²)
Remplaçons dans (2)
Périmètre = 2 (x + OB)
Le périmètre est une fonction de OC , nommé ici x
Périmètre = p(x) = 2 (x + √(100 - x²))
Lorsque x varie, la dérivée s'annule aux extrema.
p(x) = 2 x + 2√(100 - x²)
La dérivée de cette somme, c'est la somme des dérivées.
p'(x) = 2 + 2 ( √(100 - x²) )'
Que vaut ( √(100 - x²) )' ?
D'abord, ( √(x) )' = 1/2 √(x)
Ici, ce n'est pas x sous le radical, c'est u , une fonction de x, avec
u(x) = (100 - x²) et u' = -2x
La formule devient :
( √(u) )' = u' /2 √(u)
soit
( √(100 - x²) )' = -2x/2√(100 - x²)
( √(100 - x²) )' = -x/√(100 - x²)
Finalement : on remplace dans
p'(x) = 2 + 2 ( √(100 - x²) )'
p'(x) = 2 - 2 x/√(100 - x²)
La dérivée du périmètre en fonction de x (à savoir OC) s'annule pour quel x ?
2 - 2 x/√(100 - x²) = 0
1 = x/√(100 - x²)
x = √(100 - x²) élevons au carré
x² = 100 - x²)
2x² = 100
x² = 100/2
x = √100 / √2
x = 10 /√2
x = 10 √2 /2
x = 5 √2
Le périmètre est max pour OC = 5 √2