Bonsoir, on vient juste de commencer le chapitre sur le logarithme népérien et on vient d'avoir un dm. Pouvez-vous m'aider SVP sans me donner les réponses bien sur. :) Soit f la fonction définie sur l'intervalle ]1;+infi[ par f(x) = lnx - 1/lnx.
On nomme (C) la courbe représentative de f et T la courbe d'équation y = lnx dans un repère orthogonal (O;i;j).
1) Etudier les variations de la fonction f et préciser les limites en 1 et en +infi.
2)a) Déterminer la limite de [f(x) - lnx] en +infi. Interpréter graphiquement cette limite.
b) Préciser les positions relatives de (C) et de T.
3) On se propose de chercher les tangentes à la courbe (C) passant par le point O.
a) Soit a un réel appartenant à l'intervalle ]1;+infi[. infi[ par g(x) = f(x) - xf'(x).
b) Montrer que sur ]1;+infi[, les équations g(x) = 0 et (lnx)^3 - (lnx)² - lnx - 1 = 0 ont les mêmes solutions.
c) Après avoir étudié les variations de la fonction u définie par R par u(t) = t^3 - t² - t - 1, montrer que la fonction u s'annule une fois et une seule sur R.
d) En déduire l'existence d'une tangente unique à la courbe (C) passant par le point O.
La courbe (C) et la courbe T sont donnnées grace à la calculatrice.
Tracer cette tangente le plus précisément possible.
4) On considère une réel m et l'équation f(x)=mx d'inconnue x.
Par lecture grahique et sans justification, donner, suivant les valeurs du réel m, le nombre de solutions de cette équation appartenant à l'intervalle ]1;10].
Démontrer que la tangente Ta ) (C) au point d'abscisse a passe par l'origine du repère si et seulement si f(a) - af'(a) = 0.
Soit g la fonction définie sur l'intervalle ]1;+infi
On nomme (C) la courbe représentative de f et T la courbe d'équation y = lnx dans un repère orthogonal (O;i;j).
1) Etudier les variations de la fonction f et préciser les limites en 1 et en +infi.
2)a) Déterminer la limite de [f(x) - lnx] en +infi. Interpréter graphiquement cette limite.
b) Préciser les positions relatives de (C) et de T.
3) On se propose de chercher les tangentes à la courbe (C) passant par le point O.
a) Soit a un réel appartenant à l'intervalle ]1;+infi[. infi[ par g(x) = f(x) - xf'(x).
b) Montrer que sur ]1;+infi[, les équations g(x) = 0 et (lnx)^3 - (lnx)² - lnx - 1 = 0 ont les mêmes solutions.
c) Après avoir étudié les variations de la fonction u définie par R par u(t) = t^3 - t² - t - 1, montrer que la fonction u s'annule une fois et une seule sur R.
d) En déduire l'existence d'une tangente unique à la courbe (C) passant par le point O.
La courbe (C) et la courbe T sont donnnées grace à la calculatrice.
Tracer cette tangente le plus précisément possible.
4) On considère une réel m et l'équation f(x)=mx d'inconnue x.
Par lecture grahique et sans justification, donner, suivant les valeurs du réel m, le nombre de solutions de cette équation appartenant à l'intervalle ]1;10].
Démontrer que la tangente Ta ) (C) au point d'abscisse a passe par l'origine du repère si et seulement si f(a) - af'(a) = 0.
Soit g la fonction définie sur l'intervalle ]1;+infi
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