Explicação passo-a-passo:

Vamos resolver cada equação separadamente:

1) 3x² - 3x - 18 = 0

Para resolver essa equação quadrática, podemos usar o método da fórmula quadrática:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Nesse caso, a = 3, b = -3 e c = -18.

Substituindo esses valores na fórmula, temos:

x = (-(-3) ± √((-3)² - 4 * 3 * (-18))) / (2 * 3)

x = (3 ± √(9 + 216)) / 6

x = (3 ± √225) / 6

x = (3 ± 15) / 6

Temos duas soluções:

x1 = (3 + 15) / 6 = 18 / 6 = 3

x2 = (3 - 15) / 6 = -12 / 6 = -2

Portanto, as soluções da equação são x = 3 e x = -2.

2) A soma de um número com o seu quadrado é igual a 90. Calcule esses números?

Vamos chamar o número de x. A equação que representa a situação é x + x² = 90.

Podemos reescrever essa equação na forma x² + x - 90 = 0.

Podemos resolver essa equação usando o método da fórmula quadrática novamente:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Nesse caso, a = 1, b = 1 e c = -90.

Substituindo esses valores na fórmula, temos:

x = (-(1) ± √((1)² - 4 * 1 * (-90))) / (2 * 1)

x = (-1 ± √(1 + 360)) / 2

x = (-1 ± √361) / 2

x = (-1 ± 19) / 2

Temos duas soluções:

x1 = (-1 + 19) / 2 = 18 / 2 = 9

x2 = (-1 - 19) / 2 = -20 / 2 = -10

Portanto, os números que somados aos seus quadrados resultam em 90 são 9 e -10.

3) A soma do quadrado de um número com o próprio número é igual a 12. Qual é esse número?

Novamente, vamos chamar o número de x. A equação que representa a situação é x² + x = 12.

Podemos reescrever essa equação na forma x² + x - 12 = 0.

Vamos resolver essa equação usando o método da fórmula quadrática:

x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a

Nesse caso, a = 1, b = 1 e c = -12.

Substituindo esses valores na fórmula, temos:

x = (-(1) ± √((1)² - 4 * 1 * (-12))) / (2 * 1)

x = (-1 ± √(1 + 48)) / 2

x = (-1 ± √49) / 2

x = (-1 ± 7) / 2

Temos duas soluções:

x1 =