[tex]\blacksquare[/tex] Após os cálculos, concluímos que o valor de [tex]x_b[/tex] é 4.

Enunciado - Qual o valor de [tex]{x_b}[/tex] para que os pontos A(3, 1), B([tex]x_b[/tex], 2) e C(0, -2) estejam alinhados?

Pontos estarem "alinhados" significa que eles estão sobre uma mesma reta. Ou seja, existe uma equação de reta que suporta esses três pontos.

Vamos usar dois pontos que conhecemos, A(3, 1) e C(0, -2), para encontrar a reta que passa por esses pontos.

• Encontrando a reta que passa pelos pontos

A equação reduzida da reta é [tex]y=mx+n[/tex], onde o par ordenado (x, y) é o ponto que pertence à reta e m,n são os coeficientes da equação.

O objetivo é substituir as coordenadas dos pontos que conhecemos na equação da reta e encontrar m e n:

- Para o ponto A(3, 1)

[tex]y=mx+n\\\\\rightarrow x=3, y=1\\\\1=3m+n ~\textcircled{1}[/tex]

- Para o ponto C(0, -2)

[tex]y=mx+n\\\\\rightarrow x=0, y=-2\\\\-2=0 \cdot m+n\\\\-2=n ~\textcircled{2}[/tex]

Veja que já encontramos o valor do coeficiente n, que é [tex]\boxed{n=-2}[/tex]

Encontramos duas equações:

[tex]\begin{cases}1=3m+n~\textcircled{1}\\-2=n~\textcircled{2}\end{cases}[/tex]

Substituindo a equação [tex]\textcircled{2}[/tex] na equação [tex]\textcircled{1}[/tex]:

[tex]1=3m+n\\\\\rightarrow n=-2\\\\1=3m-2\\\\1+2=3m\\\\3=3m\\\\\dfrac{3}{3} =m\\\\\boxed{m=1}[/tex]

Agora que já conhecemos os valores dos coeficientes m e n, a equação da reta que passa pelos pontos é:

[tex]y=mx+n\\\\\rightarrow m=1, n=-2\\\\y=1 \cdot x-2\\\\\boxed{y=x-2}[/tex]

• Encontrando [tex]x_b[/tex]:

Se o ponto B([tex]x_b[/tex], 2) pertence a mesma reta que os pontos A e C, então ao substituirmos o y da equação pelo valor da coordenada y do ponto B, vamos encontrar [tex]x_b[/tex]:

[tex]y=x-2\\\\\rightarrow x=x_b, y=2\\\\2=x_b-2\\\\2+2=x_b\\\\\boxed{\boxed{x_b=4}}[/tex]

Portanto, o valor de [tex]x_b[/tex] é 4.

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