Exercice 1
Soit un entier naturel plus grand ou
égal à 3
1-Vérifier que n+4/n-2 =1+ 6/n-2
2-Détermine les valeurs de n telles que
le nombre (+4) est divisible par (n-2)
svp avec explication et merci d avance
Soit un entier naturel plus grand ou
égal à 3
1-Vérifier que n+4/n-2 =1+ 6/n-2
2-Détermine les valeurs de n telles que
le nombre (+4) est divisible par (n-2)
svp avec explication et merci d avance
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1. Pour vérifier que \( \frac{n + 4}{n - 2} = 1 + \frac{6}{n - 2} \), vous pouvez commencer par trouver un dénominateur commun. Multipliez le premier terme (\(n + 4\)) par \(\frac{n - 2}{n - 2}\) pour avoir le même dénominateur :
\[ \frac{n + 4}{n - 2} = \frac{n + 4}{n - 2} \cdot \frac{n - 2}{n - 2} \]
Cela donne :
\[ \frac{n(n - 2) + 4(n - 2)}{(n - 2)(n - 2)} = \frac{n^2 - 2n + 4n - 8}{(n - 2)(n - 2)} \]
Simplifiez le numérateur :
\[ \frac{n^2 + 2n - 8}{(n - 2)(n - 2)} \]
Maintenant, simplifiez le numérateur :
\[ \frac{(n + 4)(n - 2)}{(n - 2)(n - 2)} \]
Vous pouvez voir que le numérateur et le dénominateur sont identiques, ce qui signifie que \( \frac{n + 4}{n - 2} = 1 + \frac{6}{n - 2} \) est vrai.
2. Pour déterminer les valeurs de \(n\) pour lesquelles le nombre \(n + 4\) est divisible par \(n - 2\), vous pouvez utiliser la notion de divisibilité. Si \(n + 4\) est divisible par \(n - 2\), cela signifie qu'il n'y a pas de reste lorsque vous divisez \(n + 4\) par \(n - 2\), soit \(n + 4 \equiv 0 \mod (n - 2)\).
Utilisons cette équation :
\[n + 4 \equiv 0 \mod (n - 2)\]
Pour qu'il n'y ait pas de reste, il faut que \(n + 4\) soit un multiple de \(n - 2\). Donc :
\[n + 4 = k(n - 2)\]
où \(k\) est un entier. Maintenant, résolvons cette équation pour \(n\):
\[n + 4 = kn - 2k\]
Regroupons les termes contenant \(n\) d'un côté :
\[n - kn = -2k - 4\]
Factorisons \(n\) à gauche :
\[n(1 - k) = -2k - 4\]
Maintenant, divisez des deux côtés par \((1 - k)\) (à condition que \(k\) ne soit pas égal à 1, car cela entraînerait une division par zéro) :
\[n = \frac{-2k - 4}{1 - k}\]
Vous avez maintenant une expression générale pour \(n\) en fonction de \(k\). Les valeurs de \(n\) pour lesquelles \(n + 4\) est divisible par \(n - 2\) dépendront des valeurs que vous attribuez à \(k\).