svp la convergence de la serie : n!/(n^n) c'est uuuuurgent.... Pergunta de ideia deabdellahelidrissi

January 2021 1 41 Report

svp la convergence de la serie :
n!/(n^n)
c'est uuuuurgent

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MichaelS

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Soit $U_n= \frac{n!}{n^n}$

$\lim_{n \to \infty} \frac{U_{n+1}}{U_n}= \lim_{n \to \infty} \frac{ \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} }{ \frac{n!}{n^n} }\\\\\
 \lim_{n \to \infty} \frac{U_{n+1}}{U_n}= \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}\times \frac{n^n}{n!} \\\\
 \lim_{n \to \infty} \frac{U_{n+1}}{U_n}= \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)\times n^n}{(n+1)^{n+1}} \\\\
 \lim_{n \to \infty} \frac{U_{n+1}}{U_n}= \lim_{n \to \infty} \frac{n^n}{(n+1)^n}\\\\
$

$\lim_{n \to \infty} \frac{U_{n+1}}{U_n}= \lim_{n \to \infty}( \frac{n}{n+1})^n$

Or : $\lim_{n \to \infty} (1+ \frac{1}{n})^n= \lim_{n \to \infty} ( \frac{n+1}{n})^n =e$
Il s'agit d'une limite à connaitre ! (tu en as normalement fait la démonstration)

Sauf que nous on a pas (n+1)/n mais n/(n+1) c'est à dire l'inverse, on aura donc l'inverse de la limite :

$\lim_{n \to \infty} \frac{U_{n+1}}{U_n}= \frac{1}{e}\ \textless \ 1$

D'après la règle de D'Alembert, la série $\sum \frac{n!}{n^n}$ est convergente

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abdellahelidrissi merci

MichaelS de rien :)

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