No cálculo integral, podemos delimitar e calcular áreas que anteriormente seriam inacessíveis para a Geometria Clássica. Muitas vezes, podemos trabalhar com as funções em que suas intersecções definam uma área desejada. Para encontrarmos uma área em um gráfico, é necessário saber como ela se apresenta, ou seja, é necessário primeiramente descobrir quais as funções que delimitam essa área e quais são os pontos de intersecções dessas funções. Só após sabermos isso poderemos descobrir a integral que calcula uma certa área do gráfico. Sendo assim, analise o gráfico a seguir:
Qual é a integral que representa a área pintada?
A) ∫-11 (1 - x² - 3) dx.
B) ∫-22 (1 - x² + 3) dx.
C) ∫-22 (1 - x² - 3) dx.
D) ∫-22 (3 - 1 - x²) dx.
Qual é a integral que representa a área pintada?
A) ∫-11 (1 - x² - 3) dx.
B) ∫-22 (1 - x² + 3) dx.
C) ∫-22 (1 - x² - 3) dx.
D) ∫-22 (3 - 1 - x²) dx.
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Resposta:
∫-22 (1 - x² + 3) dx.
Explicação passo a passo:
Resposta:
Primeiro devemos identificar as funções que representam a parábola e a reta que vemos no gráfico.
Como a parábola tem seu vertice cortando o eixo y no ponto y = 1, temos que:
f(x) = ax² + bx + c = ax² + 0x + 1 = ax² + 1.
Dado que a concavidade da parábola está para baixo, consideremos o coeficiente lider ''a'' igual a menos um,
f(x) = - x² + 1.
Já a reta intercepta somente o eixo y no ponto y = - 3. Isto quer dizer que ela é uma função constante, sendo denotada então por:
g(x) = - 3.
Agora que obtemos as funções, devemos identificar o intervalo pelo qual a área é delimitada em relação ao eixo x. Observe que ela alcança até os pontos a = - 2 e b = 2, então sendo delimitada no intervalo [- 2, 2].
Por fim, como a função f se encontra acima da g, a área é definida por:
[tex]\sf A= \int\limits^{\sf b}_{\sf a}\sf [f(x)-g(x)]dx[/tex]
[tex]\sf A=\int\limits^{\sf2}_{\sf-2}\sf [(-\,x^2+1)-(-\,3)]dx[/tex]
[tex]\red{\sf A=\int\limits^{\sf2}_{\sf-2}\sf(1-x^2+3)dx}[/tex]
Letra B