Sobre o cálculo desse número inteiro positivo, é possível indicar que X corresponde a 2160.

Indicando o valor de X

Primeiro, para determinar o valor de x, precisamos fatorar o número N. Temos então:

• N = 6³.104,15 = 2³ . 3⁴ . 5 . 13 . 1275

O número de divisores de um número inteiro positivo pode ser calculado como o produto dos expoentes incrementado de 1 para cada fator primo da sua fatoração. Portanto, no caso de N, o número de divisores é:

• (3+1) x (4+1) x (1+1) x (1+1) x (1+1) = 240

Vemos que os únicos fatores primos que contribuem para o número de divisores são 2, 3 e 5. Para ter 240 divisores, precisamos que cada um desses fatores primos tenha um expoente maior ou igual a 1. O menor valor possível para x é encontrado ao elevar cada fator primo à sua potência mínima para que o produto resulte em N. Isso ocorre quando x é igual ao menor expoente necessário para obter 2³, 3⁴ e 5¹ na fatoração de N. Para o fator 2, temos:

• 2^3 = 8, 2^4 = 16, 2^5 = 32

Portanto, precisamos de no mínimo 2^3 = 8 fatores 2 para obter 2³ na fatoração de N. Já para o fator 3, temos:

• 3^4 = 81, 3^5 = 243

Portanto, precisamos de no mínimo 3^4 = 81 fatores 3 para obter 3⁴ na fatoração de N. E para o fator 5, temos:

• 5^1 = 5, 5^2 = 25

Portanto, precisamos de no mínimo 5^1 = 5 fatores 5 para obter 5¹ na fatoração de N. Logo, o menor valor possível para X é o produto desses expoentes:

• x = 2³ . 3⁴ . 5¹ = 2160

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