bonjour

  f(x) = (2x + 1)(2x + 3)    (1) forme factorisée

1. Montrer que f(x) = 4x² + 8x + 3

       on développe la forme (1)

 (2x + 1)(2x + 3) = 2x*2x + 3*2x + 2x + 3 =

                         = 4x² + 6x + 2x + 3

                         = 4x² + 8x + 3      (2)  forme développée

2. Déterminer la forme canonique de f.

     f(x) = 4x² + 8x + 3

           = 4(x² + 2x) + 3

           = 4(x² + 2x + 1 - 1) + 3

           = 4[x² + 2x + 1) - 1] + 3

          = 4[(x + 1)² - 1] + 3

          = 4(x + 1)² - 4 + 3

         = 4(x + 1)² - 1        (3) forme canonique

3. En utilisant la forme de ƒ la plus adaptée, et en justifiant, avec précision, votre réponse :

a) Calculer l'image de 0.

 on utilise la forme développée  f(x) = 4x² + 8x + 3

 les termes en "x" sont nuls ;  f(0) = terme constant

       f(0) = 4*0 + 8*0 + 3

                 f(0) = 3

b) Déterminer les racines de f.

on utilise la forme factorisée f(x) = (2x + 1)(2x + 3) pour avoir une équation  

produit nul

f(x) = 0 <=> (2x + 1)(2x + 3) = 0  <=>   2x + 1 = 0    ou    2x + 3 = 0

                                                           2x = -1                  2x = -3

                                                            x = -1/2                 x = -3/2      

  S = {-3/2 ; -1/2}

c) Résoudre l'équation f(x) = 3

on utilise la forme développée, le terme constant disparaît

 f(x) = 3  <=>  4x² + 8x + 3 = 3

             <=>   4x² + 8x = 0

             <=>   4x(x + 2) = 0

             <=>   x = 0  ou x + 2 = 0

                                     x = -2

 S = {-2 ; 0}

d) Dresser le tableau de variation de la fonction f

le coefficient de x² est positif, la fonction est décroissante puis croissante

 x        -∞                  -3/2              -1                -1/2                      +∞        

f(x)                   ↘          0         ↘    -1        ↗       0            ↗

l'abscisse du minimum est -b/2a  soit ici  -8/(2*4) = -1