On considère la somme Sn=1×2+2×3+3×4+...+n(n+1) où n appartient à N*.
1) calculer S1, S2 et S3
2) Démontrer par récurrence que pour tout n appartient à N* on a Sn= n(n+1)(n+2) le tout sur 3 (divisé par 3)
J'ai fait la question 1 mais je bloque lors de l'hérédité à la question 2
1) calculer S1, S2 et S3
2) Démontrer par récurrence que pour tout n appartient à N* on a Sn= n(n+1)(n+2) le tout sur 3 (divisé par 3)
J'ai fait la question 1 mais je bloque lors de l'hérédité à la question 2
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Bonjour
1) S1 = 1*2 = 2
S2 = S1 + 2*3 = 2 + 6 = 8
S3 = S2 + 3 * 4 = 8 + 12 = 20
2) Initialisation :
On pose S1 = 2
n = 1 : 1 * 2 * 3 / 3 = 6/3 = 2 = S1
Hérédité :
Soit n un entier naturel non nul, on suppose que Sn = n(n+1)(n+2) / 3
Sn+1 = 1*2 + 2*3 + ... + n(n+1) + (n+1)(n+2) = Sn + (n+1)(n+2)
Or d'après l'hypothèse de récurrence, Sn = n(n+1)(n+2) / 3
Sn+1 = n(n+1)(n+2)/3 + (n+1)(n+2) = (n+1)(n+2) ( n/3 + 1 ) = (n+1)(n+2)(n+3)/3
Conclusion :
La proposition est vraie pour n = 1 et héréditaire à partir de ce rang
donc, d'après le principe de récurrence, Sn = n(n+1)(n+2) / 3