on considere la suite UN definie par Un =1 sur n(n+1) pour tout n appartenant a grand N 1. montrer que Un =1 sur n -1sur n+1
2. Pour totu n appartenent a grand N on note Sn=U1+U2+U3+...+Un
etudier le sens sz variation de la suite
3.simplifier l ecriture de Sn
4.Conjecturer la limite de suite (Sn)
2. Pour totu n appartenent a grand N on note Sn=U1+U2+U3+...+Un
etudier le sens sz variation de la suite
3.simplifier l ecriture de Sn
4.Conjecturer la limite de suite (Sn)
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Réponse :
Explications étape par étape :
1.
[tex]\frac{1}{n} -\frac{1}{n+1}=\frac{n+1-n}{n(n+1)} =\frac{1}{n(n+1)} =U_n[/tex]
2.
[tex]S_{n+1}-S_n=U_1+U_2+...+U_n+U_{n+1}-(U_1+U_2+...+U_n)\\S_{n+1}-S_n = U_1-U_1+U_2-U_2 +...+U_n-U_n+U_{n+1}\\S_{n+1}-S_n=U_{n+1}[/tex]
[tex]U_{n+1}=\frac{1}{(n+1)(n+2)} > 0[/tex]
La suite S est croissante.
3.
[tex]S_n=U_1+U_2+...+U_n\\S_n=\frac{1}{1} -\frac{1}{2} +\frac{1}{2} -\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \\ S_n=1-\frac{1}{n+1}[/tex]
4.
[tex]\lim_{n \to \infty} (n+1) = +\infty\\ \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n+1)} =0\\ \lim_{n \to \infty} S_n=1[/tex]