On considère l'hyperbole (H) représentative de la fonction inverse. Soit a un réel non nul et différent de 1 et - 1. Pour tout point A d'abscisse a de (H), on considère le point A'd'ordonnée a de (H). Soit (T) la tangente à (H) en A. Émettre une conjecture concernant les directions de (T) et de la droite (OA'). aides :
→→ faire un dessin (soigné!) ! Ou utiliser un logiciel de géométrie dynamique (geogebra). → donner les coordonnées de A et A'en fonction de a
→ écrire une équation de (T) en fonction de a (ci vous êtes embêtés, faites-le avec une valeur choisie pour a)
→ utiliser des vecteurs directeurs des deux droites...
→→ faire un dessin (soigné!) ! Ou utiliser un logiciel de géométrie dynamique (geogebra). → donner les coordonnées de A et A'en fonction de a
→ écrire une équation de (T) en fonction de a (ci vous êtes embêtés, faites-le avec une valeur choisie pour a)
→ utiliser des vecteurs directeurs des deux droites...
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Bonjour ,
Pour mon graphique joint , j'ai pris a=3/4.
Donc A(3/4;4/3)
On a donc yA'=3/4 .
On résout f(x)=3/4 soit : 1/x=3/4 donc x=4/3
Donc :
A'(4/3;3/4)
J'ai calculé l'équation de T en x=3/4. OK ?
T ==>y=f '(x)(x-3/4)+f(3/4)
f(x)=1/x ==> f '(x)=-1/x²
f '(3/4)=-1/(3/4)²=-16/9
f(3/4)=4/3
T ==> y=-(16/9)(x-3/4)+4/3
y=-(16/9)x+4/3+4/3
y=-(16/9)x+8/3
Et j'ai tracé T avec mon logiciel GRATUIT Sine Qua Non.
Émettre une conjecture concernant les directions de (T) et de la droite (OA').
T ⊥ (OA')
Démonstration :
T ==> y=f '(x-a)+f(a)
f '(a)=-1/a²
f(a)=1/a
T ==> y=-1/a²(x-a)+1/a
y=-(1/a²)x + a/a² +1/a
y=-(1/a²)x + 1/a +1/a
T ==> y=-(1/a²)x + 2/a ou (1/a²)x+y-2/a=0
Vecteur directeur de T : u(-1;1/a²)
-----------------
O(0;0) et A'(1/a;a)
Vecteur OA'(1/a;a)
--------------
Deux vecteurs u(x;y) et v(x';y') sont orthogonaux si et seulement si :
xx'+yy'=0
------------
On applique aux vecteurs u et OA' :
-1*(1/a)+(1/a²)a=-1/a + a/a²=-1/a + 1/a=0
Donc les vecteurs u et OA' sont orthogonaux.
Donc :
T ⊥ (OA')
Réponse :
Voir PJ
Explications étape par étape :