On dispose d'un test sanguin qui, lorsqu'une personne est malade, est positif dans 99% des cas.
On obtient un résultat négatif pour 99,8% des personnes saines testées.
Ce test est dit «fiable » dès lors que la probabilité qu'une personne testé
positivement soit malade est supérieure ou égale à 95%.
A partir de quelle proportion de personnes malades ce test sera qualifié
comme « fiable >> ?
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Réponse :
Explications étape par étape :
■ BONJOUR Malpoli !
■ on va prendre 500 personnes Saines ( = non malades )
■ tableau-résumé :
Malades Saines Totaux↓
Positifs --> 0,99 M 0,002*500 0,99M+1
Négatifs --> 0,01 M 0,998*500 0,01M+499
Totaux --> M 500 M+500
■ on s' intéresse aux Positifs :
proba(Malade) = 0,99M / (0,99M+1) .
■ on veut cette proba ≥ 95% :
0,99M / (0,99M+1) ≥ 0,95
0,99M ≥ 0,9405M + 0,95
0,0495M ≥ 0,95
M ≥ 19,2 Malades .
■ conclusion :
on peut retenir qu' il faut 19,2 Malades et 500 Saines
pour affirmer que ce test est "fiable" .
Multiplions par 5 afin d' éviter toute virgule ☺ :
il faut 96 Malades et 2500 Saines
pour affirmer que ce test est "fiable" !
( soit un ratio voisin de 96Malades/2596 personnes observées
--> 1Malade/27
--> 3,7% de Malades dans la Population étudiée ! )
■ vérification :
Malades Saines Totaux↓
Positifs --> 95 5 100
Négatifs --> 1 2495 2496
Totaux --> 96 2500 2596
proba(Malade) chez les Positifs = 95/100 = 0,95 = 95% .
■ remarque pour une Population de 2692 personnes :
Malades Saines Totaux↓
Positifs --> 190 5 195
Négatifs --> 2 2495 2497
Totaux --> 192 2500 2692
proba(Malade) chez les Positifs = 190/195 ≈ 0,974 = 97,4% .
il faut donc un ratio supérieur ou égal à 1/27 .