Bonjour à tous,
J'ai quelques problèmes en mathématiques en école SUP pour cette exercice notamment:
Soit k∈ℕ, k ⩾ 2. Pour tout n∈ℕ, on pose u(n)= kn
Σ (sh(1/p))
p=n
Calculer lim->u(n) quand n tend vers +∞.
J'aimerais une réponse détaillée si possible merci!
(Un petit cadeau vous attend :)
J'ai quelques problèmes en mathématiques en école SUP pour cette exercice notamment:
Soit k∈ℕ, k ⩾ 2. Pour tout n∈ℕ, on pose u(n)= kn
Σ (sh(1/p))
p=n
Calculer lim->u(n) quand n tend vers +∞.
J'aimerais une réponse détaillée si possible merci!
(Un petit cadeau vous attend :)
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Réponse : Le petit cadeau ?
Explications étape par étape :
Pour résoudre cet exercice, nous allons procéder étape par étape.
1. Commençons par comprendre ce que représente la notation Σ (sh(1/p)) p=n. Cette notation désigne une somme de termes, où chaque terme est donné par sh(1/p) avec p prenant les valeurs de n à l'infini. Cela signifie que nous devons ajouter tous les termes de la fonction sh(1/p) pour chaque valeur de p à partir de n.
2. La fonction sh(x) est la fonction sinus hyperbolique, définie comme sh(x) = (e^x - e^(-x)) / 2. Dans notre cas, nous avons sh(1/p).
3. Pour calculer la limite lim->u(n) quand n tend vers +∞, nous devons évaluer la limite de la somme Σ (sh(1/p)) p=n lorsque n tend vers l'infini.
4. Remarquons que plus n augmente, plus la somme Σ (sh(1/p)) p=n contient de termes. Cependant, nous devons trouver une manière de simplifier cette expression pour pouvoir évaluer la limite.
5. Observons que la fonction sh(x) est une fonction continue. Cela signifie que la limite d'une somme de termes sh(1/p) est équivalente à la somme des limites de ces termes individuels.
6. Calculons la limite du terme sh(1/p) lorsque p tend vers l'infini. Nous avons :
lim->∞ sh(1/p) = lim->∞ [(e^(1/p) - e^(-1/p)) / 2]
Lorsque p tend vers l'infini, le terme 1/p tend vers 0. Nous pouvons donc utiliser cette propriété pour simplifier l'expression :
lim->∞ [(e^(1/p) - e^(-1/p)) / 2] = [(e^0 - e^0) / 2] = 0
Ainsi, la limite du terme sh(1/p) lorsque p tend vers l'infini est égale à 0.
7. En utilisant la propriété de continuité de la fonction sh(x), nous pouvons dire que la limite de la somme Σ (sh(1/p)) p=n lorsque n tend vers l'infini est équivalente à la somme des limites de ces termes individuels :
lim->∞ Σ (sh(1/p)) p=n = Σ (lim->∞ sh(1/p)) p=n
8. Comme nous avons trouvé précédemment que lim->∞ sh(1/p) = 0 pour tout p, nous pouvons substituer cette valeur dans la somme :
lim->∞ Σ (sh(1/p)) p=n = Σ (lim->∞ 0) p=n = Σ 0 p=n = 0
9. Ainsi, la limite lim->u(n) quand n tend vers +∞ est égale à 0.
En conclusion, la limite de Σ (sh(1/p)) p=n lorsque n tend vers l'infini est égale à 0.
J'espere ta tout compris :D