Partie A:
g est la fonction définie sur R par : g(x)=x³+bx²+cx +d
où b, c et d sont trois constantes réelles et Cg la courbe représentative de g.
On sait que :
•
le point A ( 0; -18) appartient à la courbe Cg;
la tangente à la courbe Cg au point A passe par le point B (-6; 0);
la courbe Cg admet au point d'abscisse 1 une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
●
Trouver l'expression de g (x).
g est la fonction définie sur R par : g(x)=x³+bx²+cx +d
où b, c et d sont trois constantes réelles et Cg la courbe représentative de g.
On sait que :
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le point A ( 0; -18) appartient à la courbe Cg;
la tangente à la courbe Cg au point A passe par le point B (-6; 0);
la courbe Cg admet au point d'abscisse 1 une tangente parallèle à l'axe des abscisses.
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Trouver l'expression de g (x).
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Réponse:
On sait que le point A (0, -18) appartient à la courbe Cg. Donc, on peut écrire que g(0) = -18.
g(0) = 0³ + b(0)² + c(0) + d = d = -18
Donc, d = -18.
La tangente à la courbe Cg au point A passe par le point B (-6, 0). On peut utiliser cette information pour trouver la dérivée de g au point A.
g'(x) = 3x² + 2bx + c
g'(0) = 3(0)² + 2b(0) + c = c
La pente de la tangente à la courbe Cg au point A est donc égale à g'(0) = c.
Puisque la tangente est parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse 1, cela signifie que la dérivée de g au point d'abscisse 1 est égale à 0.
g'(1) = 3(1)² + 2b(1) + c = 0
On peut utiliser ce système d'équations pour résoudre pour b et c:
c = g'(0) = -6
3 + 2b - 6 = 0
2b = 3
b = 3/2
Ainsi, l'expression de g(x) est g(x) = x³ + (3/2)x² - 6x - 18.