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Réponse :

salut

la simplification se fera par x²

limite en + et - oo

limite (x²/2x²) quand x tend vers -oo= 1/2

limite (x²/2x²) quand x tend vers +oo= 1/2

la droite y= 1/2 est asymptote horizontale à Cf en + et - oo

position relative

f(x)-y

=((x²+5x-2)/(2x²+1))-1/2

= (5(2x-1))/(2(2x²+1))

tableau de signe

x             - oo                      1/2                         +oo

2x-1                         -            0          +

2x²+1                       +                         +

f(x)-y                        -              0           +

f<y de ] -oo ; 1/2 ]

f>y de [ 1/2 ; +oo [

Explications étape par étape

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Réponse :

courbe sous l' asymptote ( y = 0,5 ) pour x < 0,5 .

Explications étape par étape :

■ f(x) = (x²+5x-2) / (2x²+1)

■ f ' (x) = [ (2x²+1)(2x+5) - (x²+5x-2)(4x) ] / (2x²+1)²

           = [ 4x³+10x²+2x+5 - (4x³+20x²-8x) ] / (2x²+1)²

           = [ -10x²+10x+5 ] / (2x²+1)²

           = -10 ( x² - x - 0,5 ) / (2x²+1)²

■ étudions le signe de x² - x - 0,5 :

         Δ = b²-4ac ♥

         Δ = 1²-4*(-0,5) = 1 + 2 = 3 = (√3)²  

          solutions : x1 = 0,5*(1-√3) ≈ -0,366

                            x2 = 0,5*(1+√3) ≈ 1,366 .

■ conclusion :

   la fonction f est croissante pour -0,366 < x < 1,366 .

■ pour x tendant vers l' infini :

   Lim f(x) = Lim x²/(2x²) = 1/2 = 0,5 donc

      l' équation de l' asymptote horizontale cherchée est

             y = 0,5 .

■ résolvons f(x) = 0,5 :

  x²+5x-2 = x²+0,5 donne 5x = 2,5 donc x = 0,5 .    

■ conclusion :

   la courbe est SOUS l' asymptote pour x < 0,5

      ( AU-DESSUS de l' asymptote pour x > 0,5 ) .

■ tableau :

     x -->        -∞      -0,366       0        0,5       1,366    √2     +∞

f ' (x) -->              -        0                +                  0           -

  f(x) -->        0,5-    -2,915      -2        0,5       1,415     √2    0,5+