Réponse :

Bonjour

1) Exprimons [tex]u_{n+1}[/tex]

[tex]u_{n+1}=(n+1)^3+3(n+1)-1\\u_{n+1}=n^3+3n^2+3n+1+3n+3-1\\u_{n+1}=n^3+3n^2+6n+3[/tex]

Ainsi pour tout entier naturel n on a :

[tex]u_{n+1}-u_n=n^3+3n^2+6n+3-(n^3+3n-1)\\u_{n+1}-u_n=n^3+3n^2+6n+3-n^3-3n+1\\u_{n+1}-u_n=3n^2+3n+4[/tex]

2) Soit P le polynôme du seconde degré : [tex]3x^2+3x+4[/tex]

Etudions le signe de P sur R.

Δ = b² - 4ac

Δ = 3²-4×3×4

Δ = -39

Δ< 0 donc P est du signe de a = 3, strictement positif sur R.

3) [tex]u_{n+1}-u_n[/tex] a le même signe que P pour tout entier naturel n.

[tex]u_{n+1}-u_n > 0[/tex]

donc la suite [tex](u_n)[/tex] est strictement croissante sur N.