Pouvez vous m'aider pour cette question de dm de maths niveau terminale svp.... Pergunta de ideia deelblima18

December 2020 1 115 Report

Pouvez vous m'aider pour cette question de dm de maths niveau terminale svp

Tenurf

Bonjour,

Nous allons démontrer par récurrence que

pour tout n entier supérieur ou égal à 4

$2^n\geq n^2$

Etape 1 - vrai au rang 4

pour n = 4, cela donne

$2^4=16\\\\4^2=16\\\\\text{Donc, nous avons bien }\\\\2^4\geq 4^2$

Etape 2 - Supposons que cela soit vrai au rang k avec k un entier supérieur ou égal à 4

Hypothèse de récurrence est $2^k\geq k^2$

$2^{k+1}=2^k\times 2\geq k^2\times 2$ par hypothèse de récurrence

Et nous devons prouver que

$2^{k+1}\geq (k+1)^2$

$2k^2-(k+1)^2=2k^2-k^2-2k-1=k^2-2k-1\\\\=(k-1)^2-2\\\\\text{Or }k\geq 4(k-1)\geq 3(k-1)^2\geq 9=>(k-1)^2-2\geq 9-2\geq 0$

Donc nous avons

$2^{k+1}=2^k\times 2\geq k^2\times 2\geq (k+1)^2$

Etape 3 - Conclusion

Nous venons donc de démontrer que pour tout n entier supérieur ou égal à 4

$2^n\geq n^2$

Merci

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elblima18 Merci beaucoup