Bonjour,

Soit la suite [tex](u_{n})[/tex] définie pour tout [tex]n\in\mathbb{N}[/tex] par :

[tex]$\left\{\begin{array}{l} u_{0}=1 \\ u_{n+1}=\dfrac{2u_{n}}{2+3u_{n}} \end{array}\right.$[/tex]

1) On calcule les termes suivants de la suite :

• [tex]u_{1}=\dfrac{2u_{0}}{2+3u_{0}}=\dfrac{2\times 1}{2+ 3\times 1}=\dfrac{2}{5}[/tex]
• [tex]u_{2}=\dfrac{2u_{1}}{2+3u_{1}}=\dfrac{2\times \frac{2}{5} }{\frac{10}{5} +3\times \frac{2}{5} } =\dfrac{\frac{4}{5} }{\frac{16}{5} } =\dfrac{4}{16} =\dfrac{1}{4}[/tex]

On constate que [tex]\boxed{u_{1}-u_{0}\neq u_{2}-u_{1}}[/tex] : la suite [tex](u_{n})[/tex] n'est donc par arithmétique.

2) On définit une suite [tex](v_{n})[/tex] pour tout entier naturel [tex]n[/tex] telle que :

[tex]\boxed{v_{n}=1+\dfrac{2}{u_{n}}}[/tex]

a) On a alors, pour tout entier naturel [tex]n[/tex] :

[tex]v_{n+1}=1+\dfrac{2}{u_{n+1}}\\\\\\v_{n+1}=1+\dfrac{2}{\dfrac{2u_{n}}{2+3u_{n}} }\\\\\\v_{n+1}=1+2\times \dfrac{2+3u_{n}}{2u_{n}} \\\\\\v_{n+1}=1+\dfrac{2+3u_{n}}{u_{n}}\\\\\\v_{n+1}=1+\dfrac{2}{u_{n}} +\dfrac{3u_{n}}{u_{n}} \\\\\\v_{n+1}=1+\dfrac{2}{u_{n}}+3\\\\\\\boxed{v_{n+1}=v_{n}+3}[/tex]

Ainsi, la suite [tex](v_{n})[/tex] est arithmétique de raison [tex]3[/tex].

b) On en déduit que l'expression de la suite [tex](v_{n})[/tex] est de la forme :

[tex]v_{n}=v_{0}+3n[/tex] avec [tex]v_{0}=1+\dfrac{2}{u_{0}} =1+\dfrac{2}{1}=3[/tex]

Ainsi, pour tout entier naturel [tex]n[/tex], on a :

[tex]\boxed{v_{n}=3n+3}[/tex]

De plus, on sait que pour tout entier naturel [tex]n[/tex], on a :

[tex]v_{n}=1+\dfrac{2}{u_{n}}[/tex]

d'où :

[tex]u_{n}=\dfrac{2}{v_{n}-1}[/tex]

Donc, pour tout entier naturel [tex]n[/tex], on a :

[tex]\boxed{u_{n}=\dfrac{2}{3n+2}}[/tex]

En espérant t'avoir aidé.