Pouvez vous m'aider, svp le papyrus Rhind affirme: L'aire du cercle de diametre 9 coudées est celle du carré de 8 coudées de côté. Pour expliquer comment on a pu arriver a ce resultat, on considère un cercle de diamètre 9 inscrit dans un carré de côté 9.
Puis on trace l'octogone ABCDEFGH comme sur la figure ci contre
1) Expliquer le résultat cité plus haut en considérant que l'aire de cet octogone est très voisine de l'aire du disque
2) Quelle approximation de pi par un nombre rationnel est liée au texte du papyrus Rhind? En donner une valeur décimale approchée à 0,01 prés
Merci d'avance
Puis on trace l'octogone ABCDEFGH comme sur la figure ci contre
1) Expliquer le résultat cité plus haut en considérant que l'aire de cet octogone est très voisine de l'aire du disque
2) Quelle approximation de pi par un nombre rationnel est liée au texte du papyrus Rhind? En donner une valeur décimale approchée à 0,01 prés
Merci d'avance
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Réponse :
Explications étape par étape :
■ Aire du disque de diamètre 9 coudées ?
1 coudée = 45 cm permettra de faire des calculs ♥
Aire disque ≈ 128825 cm² .
■ Aire du carré de côté 8 coudées ?
Aire carrée = 129600 cm² .
( soit une erreur voisine de 0,6% seulement
par rapport au disque ci-dessus ! )
■ Aire de l' octogone de diam 9 coudées ?
on a donc 8 triangles isocèles dont les grands côtés
mesurent 4,5 coudées ( soit 202,5 cm ) chacun,
d' angle 45° au sommet .
La base du triangle isocèle est donc voisine de 155 cm
( base = 2 x 4,5 x 45 cm x sin22,5° )
Périmètre octogone ≈ 1240 cm .
Aire d' 1 triangle isocèle ?
hauteur = 202,5 x cos22,5° ≈ 187 cm .
donc A1 = base x hauteur / 2 ♥
= 155 x 187 / 2
= 14492,5 cm² .
d' où Aire octogone = 8 x A1 = 115940 cm² .
( soit une erreur voisine de 11% par rapport
à l' Aire réelle du disque de diam 9 coudées ! )
■ remarque :
L' Aire de cet octogone est très voisine de
l' Aire d' un disque de diamètre 8,54 coudées
( de Rayon voisin de 192 cm ) :
Adisq ≈ 115812 cm² .
■ approximation de Pi :
Adisq ≈ Pi x 4,5² ≈ 20,25 x Pi coudées carrées ( diam = 9 coudées )
Acarré = 64 coudées carrées ( côté = 8 coudées ) .
( Aoctogone ≈ 57,25 coudées carrées ) .
d' où Pi voisin de 64 / 20,25 = 256 / 81 ≈ 3,16
( soit une erreur inférieure à 0,6% sur la valeur de Pi ☺ )