pouvez voys m aider a resoudre cet exercice soient A(−3;3),B(3;−1) et C(1;5) trois points non alignés du plan muni d'un repère orthonormé. On note A′, B′ et C′ les points tels que : A′B=aA′C,B′C=bB′A et C′A=cC′B où a,b et c sont des nombres réels différents de 1. Questions préliminaires : 1. En utilisant BA′=BC+CA′, montrer que BA′=a−1aBC. 2. Exprimer les coordonnées de A′ en fonction de a, celles de B′ en fonction b et celles de C′ en fonction de c
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Réponse :
Explications étape par étape :
1. En utilisant la relation vectorielle BA′=BC+CA′, on peut écrire les coordonnées de BA′ et BC+CA′ puis égaler les deux expressions pour trouver l'expression de BA′ en fonction de BC :
BA′ = (xA′ - xB, yA′ - yB) = (3 - (-3), -1 - 3) = (6, -4)
BC+CA′ = (xC - xB + xA′ - xC, yC - yB + yA′ - yC) = (1 - 3 + xA′ + 3, 5 - (-1) + yA′ - 5) = (xA′ + 1, yA′)
En égalant les deux expressions, on a :
(6, -4) = aBC
(6, -4) = a(xC - xB, yC - yB)
(6, -4) = a(4, 6)
Donc, a = 2/3 et BA′ = (4/3, -8/3). En utilisant la même méthode, on peut trouver les expressions de B′C, CA′ et de leurs longueurs respectives :
B′C = bAC
= b(xC - xA, yC - yA)
= b(4, 8)
Donc, b = ||B′C|| / ||AC|| = ||b(4, 8)|| / ||(4, 2)|| = 2.
CA′ = cAB
= c(xB - xA, yB - yA)
= c(6, -4)
Donc, c = ||CA′|| / ||AB|| = ||c(6, -4)|| / ||(6, 4)|| = 2.
2. En utilisant les relations données pour les longueurs des segments, on peut écrire les expressions vectorielles pour A′B, B′C et C′A en fonction des vecteurs AB, BC et CA respectivement, puis résoudre pour les coordonnées des points A′, B′ et C′. Par exemple :
A′B = aA′C
= a(xC - xA′, yC - yA′)
= a[(x C - x B) + (x B - x A′), (y C - y B) + (y B - y A′)]
= a[BC + (-BA′)]
= a[BC - (a-1)BA′]
En utilisant l'expression trouvée pour BA′ dans la question 1, on peut résoudre pour les coordonnées de A′ :
a[(x C - x B) + (x B - x A′), (y C - y B) + (y B - y A′)] = a[BC - (a-1)BA′]
<=> (x C - x B) + (x B - x A′) = (a-1)(4/3)
(y C - y B) + (y B - y A′) = (a-1)(-8/3)
<=> xA′ = xB + (a-1)(4/3) - (xC - xB)
yA′ = yB + (a-1)(-8/3) - (yC - yB)
En utilisant les expressions trouvées pour les valeurs de b et c, on peut de même résoudre pour les coordonnées de B′ et C′.