PRISE D'INITIATIVE Chercher
ABCD est un rectangle tel que : AB= 4 et AD = 2. On note K le milieu de [AB] et L celui de [AD].
Montrer que A, E et C sont alignés.
ABCD est un rectangle tel que : AB= 4 et AD = 2. On note K le milieu de [AB] et L celui de [AD].
Montrer que A, E et C sont alignés.
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Réponse:
Pour montrer que A, E et C sont alignés, nous devons montrer que E est sur la droite (AC).
Nous savons que K est le milieu de [AB], donc KB = AB/2 = 2. Et nous savons également que L est le milieu de [AD], donc LD = AD/2 = 1.
Comme le rectangle ABCD est rectangle en A, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle KAL :
KL² + AL² = KA²
En remplaçant les longueurs par leurs valeurs :
(2 + 1)² + 2² = 4²
9 + 4 = 16
13 = 16 - 3
Donc KA est égal à la racine carrée de 13.
Maintenant, nous pouvons utiliser le théorème de Thalès dans le triangle KAC :
KE / KA = KB / AB
En remplaçant les longueurs par leurs valeurs :
KE / racine carrée de 13 = 2 / 4
KE = (2 x racine carrée de 13) / 4
KE = racine carrée de 13 / 2
En utilisant à nouveau le théorème de Thalès dans le triangle DAL :
EL / AD = LK / KA
En remplaçant les longueurs par leurs valeurs :
EL / 2 = 1 / racine carrée de 13
EL = (2 x 1) / racine carrée de 13
EL = 2 / racine carrée de 13
Enfin, nous pouvons vérifier si les rapports KE / AC et EL / AC sont égaux :
KE / AC = KE / (AB + BC) = racine carrée de 13 / (4 + BC)
EL / AC = EL / (AD + DC) = (2 / racine carrée de 13) / (2 + DC)
Nous devons trouver la valeur de DC pour que ces deux rapports soient égaux :
racine carrée de 13 / (4 + BC) = (2 / racine carrée de 13) / (2 + DC)
En multipliant les deux membres de l'équation par (4 + BC) x (2 + DC) x racine carrée de 13, nous obtenons :
racine carrée de 13 x (2 + DC) = 2 x (4 + BC)
En développant et simplifiant, nous avons :
2 racine carrée de 13 + DC x racine carrée de 13 = 8 + 2BC
DC x racine carrée de 13 = 8 + 2BC - 2 racine carrée de 13
DC x racine carrée de 13 = 2(4 - racine carrée de 13)
Ainsi, nous avons trouvé que pour que A, E et C soient alignés, il faut que DC = 2(4 - racine carrée de 13) / racine carrée de 13.Pour compléter la réponse, il est possible de vérifier que DC = 2(4 - racine carrée de 13) / racine carrée de 13 est bien la valeur qui permet de vérifier que KE / AC = EL / AC.
En effet, en remplaçant DC par cette valeur dans l'expression de EL / AC, on obtient :
EL / AC = (2 / racine carrée de 13) / [2 + 2(4 - racine carrée de 13) / racine carrée de 13]
EL / AC = 2 / [2 (1 + racine carrée de 13)]
En simplifiant, on trouve :
EL / AC = racine carrée de 13 / (4 + BC)
En remplaçant également DC par cette valeur dans l'expression de KE / AC, on obtient :
KE / AC = racine carrée de 13 / [4 + 2(4 - racine carrée de 13) / racine carrée de 13]
KE / AC = racine carrée de 13 / (4 + BC)
On voit donc que KE / AC = EL / AC lorsque DC = 2(4 - racine carrée de 13) / racine carrée de 13, ce qui prouve que A, E et C sont alignés.