Problema:
Considere uma partícula subatômica em um campo magnético espacialmente variável e um campo elétrico oscilante.
Uma partícula subatômica de massa m e carga q se move no espaço tridimensional sob a influência de um campo magnético variável no espaço, descrito pela função vetorial:
B(r) = B₀(r₀) exp[-α(||r - r₀||²)] û_z,
onde B₀ é a amplitude do campo magnético no ponto r₀, α é uma constante positiva, r é a posição da partícula e û_z é o vetor unitário na direção z.
Além disso, a partícula também está sujeita a um campo elétrico oscilante:
E(t) = E₀ sin(ωt) û_y,
onde E₀ é a amplitude do campo elétrico e ω é a frequência angular.
Determine a equação de movimento da partícula e encontre a solução analítica para a trajetória da partícula em termos de suas coordenadas cartesianas (x, y, z).
Dica: Utilize a equação de Lorentz para a força atuante sobre a partícula:
F = q(E + v x B),
onde F é a força resultante, v é a velocidade da partícula e x indica o produto vetorial.
Considere uma partícula subatômica em um campo magnético espacialmente variável e um campo elétrico oscilante.
Uma partícula subatômica de massa m e carga q se move no espaço tridimensional sob a influência de um campo magnético variável no espaço, descrito pela função vetorial:
B(r) = B₀(r₀) exp[-α(||r - r₀||²)] û_z,
onde B₀ é a amplitude do campo magnético no ponto r₀, α é uma constante positiva, r é a posição da partícula e û_z é o vetor unitário na direção z.
Além disso, a partícula também está sujeita a um campo elétrico oscilante:
E(t) = E₀ sin(ωt) û_y,
onde E₀ é a amplitude do campo elétrico e ω é a frequência angular.
Determine a equação de movimento da partícula e encontre a solução analítica para a trajetória da partícula em termos de suas coordenadas cartesianas (x, y, z).
Dica: Utilize a equação de Lorentz para a força atuante sobre a partícula:
F = q(E + v x B),
onde F é a força resultante, v é a velocidade da partícula e x indica o produto vetorial.
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Resposta:
Explicação:
Para encontrar a equação de movimento da partícula, podemos utilizar a equação de Lorentz:
F = q(E + v x B)
onde F é a força resultante, v é a velocidade da partícula e x indica o produto vetorial. Podemos escrever a força em termos de suas componentes nas direções x, y e z:
F_x = q(E_y B_z - E_z B_y)
F_y = q(E_z B_x - E_x B_z)
F_z = q(E_x B_y - E_y B_x)
Substituindo as expressões para E e B, obtemos:
F_x = 0
F_y = qE₀B₀ exp[-α(||r - r₀||²)] sin(ωt)
F_z = 0
Como a força resultante na direção x e z é zero, podemos deduzir que a partícula se move apenas no plano xy.
Podemos agora escrever a equação de movimento da partícula para as coordenadas x e y:
ma_x = 0 => a_x = 0 => v_x = constante
ma_y = qE₀B₀ exp[-α(||r - r₀||²)] sin(ωt)
Podemos integrar a equação acima para obter a velocidade da partícula na direção y:
v_y = - (qE₀B₀ / mα) exp[-α(||r - r₀||²)] cos(ωt) + C
onde C é uma constante de integração que pode ser determinada a partir das condições iniciais.
Podemos agora integrar novamente para obter a posição da partícula na direção y:
y = - (qE₀B₀ / mαω) exp[-α(||r - r₀||²)] sin(ωt) + (C / ω) t + D
onde D é outra constante de integração.
Para encontrar a trajetória da partícula em termos de suas coordenadas cartesianas (x, y, z), podemos integrar as equações de movimento nas direções x e z. Como a força resultante nessas direções é zero, podemos deduzir que a partícula se move com velocidade constante nessas direções.
Assim, a trajetória da partícula é dada por:
x = v_x t + x₀
y = - (qE₀B₀ / mαω) exp[-α(||r - r₀||²)] sin(ωt) + (C / ω) t + y₀
z = v_z t + z₀
onde x₀, y₀ e z₀ são as coordenadas iniciais da partícula e v_z é a velocidade constante da partícula na direção z.
A partir das condições iniciais da partícula, podemos determinar as constantes de integração C e D, e assim obter a trajetória completa da partícula em termos de suas coordenadas cartesianas.