Enunciado

Calcule o volume gerado pela rotação das curvas  f(x)=√x e g(x)=x² em torno do eixo x.

Após a realização dos cálculos✍️, podemos concluir mediante ao conhecimento de aplicações da integral definida que o volume procurado é 3π/₁₀ unidades cúbicas✅

Volume de um sólido por anéis circulares

Considere f(x) e g(x) duas funções Riemann integráveis. O volume de um sólido de revolução entre as retas x=a e x=b onde f(x) e g(x) são respectivamente a função que estão uma acima e outra abaixo é dado por

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\tt V=\pi\int_a^b [f(x)^2-g(x)^2]dx\end{array}}[/tex]

✍️Vamos a resolução do exercício

Aqui vamos inicialmente obter o ponto de intersecção das duas curvas, e em seguida aplicar o método dos aneis circulares.

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf f(x)=\sqrt{x}~~g(x)= x^2\\\sf \sqrt{x}=x^2\\\sf(\sqrt{x})^2=(x^2)^2\\\sf x=x^4\\\sf x-x^4=0\\\sf x\cdot(1-x^3)=0\\\sf x=0\\\sf 1-x^3=0\\\sf x^3=1\\\sf x=\sqrt[\sf3]{\sf1}\\\sf x=1\\\sf f(x)=\sqrt{x}\\\sf f(0)=\sqrt{0}=0~~A(0,0)\\\sf f(1)=\sqrt{1}=1~~B(1,1)\end{array}}[/tex]

Aplicando o método dos anéis circulares temos:

[tex]\Large\boxed{\begin{array}{l}\displaystyle\sf V=\pi\int_0^1[(\sqrt{x})^2-(x^2)^2]dx\\\\\displaystyle\sf V=\pi\int_0^1 [x-x^4]dx\\\\\sf V=\pi\bigg[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^5}{5}\bigg]_0^1\\\\\sf V=\pi\bigg[\dfrac{1^2}{2}-\dfrac{1^5}{5}\bigg]\\\\\sf V=\pi\bigg[\dfrac{5-2}{10}\bigg]\\\\\sf V=\dfrac{3\pi}{10}\,u\cdot c\end{array}}[/tex]

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