Soit E, F, G, et H les milieux respectifs des côtés AB, BC, CD, et DA d'un quadrilatère ABCD.

   Par la propriété des milieux, on sait que EF est parallèle à AB et de longueur égale à la moitié de AB.

   De même, FG est parallèle à BC et de longueur égale à la moitié de BC.

   GH est parallèle à CD et de longueur égale à la moitié de CD.

   Enfin, HE est parallèle à DA et de longueur égale à la moitié de DA.

Maintenant, considérons les paires de côtés opposés EF et GH, ainsi que FG et HE.

   EF est parallèle à GH (tous deux parallèles à AB), et EF a la même longueur que GH (la moitié de AB est égale à la moitié de CD).

   De même, FG est parallèle à HE (tous deux parallèles à BC), et FG a la même longueur que HE (la moitié de BC est égale à la moitié de DA).

Ainsi, EFGH est un parallélogramme car ses côtés opposés sont parallèles et de longueurs égales, ce qui est la condition nécessaire pour qu'un quadrilatère soit un parallélogramme.