Exercice 6: (Sulte arithmético-géométrique) Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la perte naturelle de 0,1 gramme, le système perd 1 % de sa masse de gaz chaque jour. Le garagiste recharge alors complètement le réservoir. Pour tout entier naturel n, on note u,, la masse de gaz dans le réservoir au bout de n jours après cette visite. 1. On a donc uo = 660, Montrer que pour tout entier naturel n, on a: Un+1 = 0,99 un-0,1. 2. Calculer u₁ et ₂. 3. Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre N non nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz u restant dans le système. k est un entier naturel. Saisir N u-660 Pour k allant de 1 à...... U....... Fin Pour Afficher ...... (a) Compléter la partie relative au traitement de cet algorithme. (b) Quelle masse de gaz restera-t-il au bout de 20 jours? Arrondir au gramme près. 4. Soit la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par Un = Un + 10. (a) Calculer vo. (b) Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique dont on déterminera la raison. Pour tout entier naturel n, exprimer U,, en fonction de n. (c) En déduire pour tout entier naturel n l'expression de un en fonction de n. (d) A l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à la question 3.b. 5. On rappelle que le constructeur préconise de recharger le réservoir au plus tard lorsque la masse de gaz est inférieure à 440 g. Le coût d'une recharge est de 80 euros. Le garagiste propose de réparer le système pour 400 euros. Pourquoi est-il plus économique pour cet automobiliste de réparer le système? Justifier la réponse.​