Oii, tudo bem?

Para provar que nenhuma função f : In → Im é injetiva quando n > m, podemos usar prova por indução.

Base da indução: Quando n = m + 1, temos apenas um elemento a mais em Im em relação a In. Portanto, não é possível construir uma função injetiva, pois não há elementos suficientes em In para mapear todos os elementos em Im sem repetição.

Hipótese de indução: Suponha que para algum k > m, não é possível construir uma função injetiva f : Ik → Im.

Passo da indução: Vamos mostrar que não é possível construir uma função injetiva f : Ik+1 → Im. Suponha que exista uma função injetiva f : Ik+1 → Im. Isso significa que todos os elementos de Ik+1 são mapeados para elementos diferentes em Im.

No entanto, Ik+1 = Ik ∪ {k+1}, onde k+1 é o elemento adicional em Ik+1. Como f é injetiva, f(k+1) deve ser mapeado para um elemento em Im que ainda não foi mapeado por nenhum elemento em Ik. Mas como n > m, não há elementos suficientes em Im para mapear todos os elementos em Ik sem repetição. Portanto, não é possível construir uma função injetiva f : Ik+1 → Im.

Conclusão: Com base na prova por indução, podemos concluir que se n, m ∈ N e n > m, então nenhuma função f : In → Im é injetiva.

Espero ter ajudado!