Oii, tudo bem?

Para provar que se X é finito e S ⊂ X, então #S ≤ #X, podemos utilizar o princípio da inclusão-exclusão.

Se X é finito, então podemos enumerar seus elementos como x1, x2, ..., xn, onde n é o número de elementos em X.

Suponha que S seja um subconjunto de X. Podemos definir uma função f: X → {0, 1} da seguinte forma:

f(x) =

1, se x ∈ S,

0, caso contrário.

Agora, vamos contar o número de elementos em S. Podemos fazer isso somando os valores da função f para cada elemento em X:

#S = f(x1) + f(x2) + ... + f(xn).

Como f(x) só pode ser 0 ou 1, temos que f(x) ≤ 1 para todo x em X. Portanto, podemos concluir que:

#S = f(x1) + f(x2) + ... + f(xn) ≤ 1 + 1 + ... + 1 (n vezes) = n.

Mas n é o número de elementos em X, ou seja, #X = n. Portanto, temos que #S ≤ #X.

Assim, provamos que se X é finito e S ⊂ X, então o número de elementos em S é menor ou igual ao número de elementos em X.

Espero ter ajudado!