Bonjour

1) u1 = u0 / 1+u0 = 1 / 1+1 = 1 / 2

u2 = u1 / 1 + u1 = (1/2) / (1 + 1/2) = (1/2) / (3/2) = 1 / 3

u3 = u2 / 1 + u2 = (1/3) / (1 + 1/3) = (1/3) / (4/3) = 1 / 4

2)a) vn = 1/un

vn+1 = 1 / un+1 = 1 / (un / 1+un) = (1 + un) / un = 1/un + 1

vn+1 = vn + 1 donc vn est une suite arithmétique de raison et de premier terme v0 = 1/u0 = 1/1 = 1

b) vn+1 = vn + 1

Autrement dit vn = v0 + 1*n = 1 + n

Or vn = 1/un donc un = 1/vn

un = 1 / (1 + n)

c) un+1 - un = 1 / (1 + n + 1) - 1 / (1 + n) = 1 / (n + 2) - 1 / (n + 1)

un+1 - un = (n+1 - n - 2) / (n+1)(n+2)

un+1 - un = - 1 / (n+1)(n+2)

Or (n+1)(n+2) > 0 pour tout entier naturel n   et    -1 < 0

donc - 1 / (n+1)(n+2) < 0

un+1 - un < 0

un+1 < un

(un) est décroissante