Resposta:
[tex]\textsf{Segue a resposta abaixo}[/tex]
Explicação passo-a-passo:
[tex] \mathsf{d=4n } [/tex]
[tex] \mathsf{ d=\dfrac{n(n-3)}{2}}[/tex]
[tex] \mathsf{4n=\dfrac{n(n-3)}{2} } [/tex]
[tex] \mathsf{(n-11)=0 } [/tex]
[tex] \mathsf{n-11=0 } [/tex]
[tex] \mathsf{n=0+11 } [/tex]
[tex]\boxed{\boxed{ \mathsf{n=11 }}} \leftarrow\sf undec\acute agono [/tex]
✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o referido polígono procurado é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Undec\acute{a}gono\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Sabendo que o número de diagonais pode ser calculado pela seguinte fórmula:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} d = \frac{n(n - 3)}{2}\end{gathered}$}[/tex]
Se o número de diagonais é o quádruplo do número de lados, então:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} d = 4n\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{n(n - 3)}{2} = 4n\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} n^{2} - 3n = 8n\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} n^{2} - 3n - 8n = 0\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} n^{2} - 11n = 0\end{gathered}$}[/tex]
Fatorando esta última equação do segundo grau, chegamos à:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} n\cdot(n - 11) = 0\end{gathered}$}[/tex]
Desta forma, as possíveis raízes da equação são:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} n' = 0\:\:\:e\:\:\:n'' = 11\end{gathered}$}[/tex]
Como o polígono é um objeto real e, por isso, tem lados de comprimento diferente de "0", então o valor que serve como solução da questão é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} n'' = 11\end{gathered}$}[/tex]
Desta forma, o número de lados do referido polígono é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} n = 11\end{gathered}$}[/tex]
✅ Portanto, o polígono procurado tem "11" lados e se chama:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} Undec\acute{a}gono\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais:
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[tex] \mathsf{d=4n } [/tex]
[tex] \mathsf{ d=\dfrac{n(n-3)}{2}}[/tex]
[tex] \mathsf{4n=\dfrac{n(n-3)}{2} } [/tex]
[tex] \mathsf{(n-11)=0 } [/tex]
[tex] \mathsf{n-11=0 } [/tex]
[tex] \mathsf{n=0+11 } [/tex]
[tex]\boxed{\boxed{ \mathsf{n=11 }}} \leftarrow\sf undec\acute agono [/tex]
✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o referido polígono procurado é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Undec\acute{a}gono\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Sabendo que o número de diagonais pode ser calculado pela seguinte fórmula:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} d = \frac{n(n - 3)}{2}\end{gathered}$}[/tex]
Se o número de diagonais é o quádruplo do número de lados, então:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} d = 4n\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \frac{n(n - 3)}{2} = 4n\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} n^{2} - 3n = 8n\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} n^{2} - 3n - 8n = 0\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} n^{2} - 11n = 0\end{gathered}$}[/tex]
Fatorando esta última equação do segundo grau, chegamos à:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} n\cdot(n - 11) = 0\end{gathered}$}[/tex]
Desta forma, as possíveis raízes da equação são:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} n' = 0\:\:\:e\:\:\:n'' = 11\end{gathered}$}[/tex]
Como o polígono é um objeto real e, por isso, tem lados de comprimento diferente de "0", então o valor que serve como solução da questão é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} n'' = 11\end{gathered}$}[/tex]
Desta forma, o número de lados do referido polígono é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} n = 11\end{gathered}$}[/tex]
✅ Portanto, o polígono procurado tem "11" lados e se chama:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} Undec\acute{a}gono\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
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