Resposta:

O valor de n é 15.

Explicação passo a passo:

A fórmula que fornece a quantidade de diagonais de um polígono regular é:

d = n·(n - 3)

         2

em que n representa o número de lados desse polígono

Como o polígono tem 90 diagonais, tem-se d = 90. Logo:

90 = n·(n - 3)

           2

n·(n - 3) = 2·90

n² - 3n = 180

n² - 3n - 180 = 0

Agora, é preciso resolver a equação do 2° grau.

Os coeficientes são: a = 1; b = -3; c = -180

Calculando o discriminante (Δ)

Δ = b² - 4ac

Δ = (-3)² - 4·1·(-180)

Δ = 9 + 720

Δ = 729

Pela fórmula de Bháskara, tem-se:

n = - b ± √Δ

         2a

n = - (-3) ± √729

            2·1

n = 3 ± 27

        2

n' = 3 + 27 = 30 = 15

         2         2

n'' = 3 - 27 = - 24 = - 12

         2           2

Como a quantidade de lados não pode ser um número negativo, só pode ser 15. Logo, n = 15.