Resposta:

Portanto, proximadamente 9.66.

Explicação passo a passo:

Vamos analisar a diferença entre os termos consecutivos:

[tex]1. \( \sqrt{27} - \sqrt{12} \) \\2. \( \sqrt{48} - \sqrt{27} \)\\3. \( \sqrt{75} - \sqrt{48} \)[/tex]

Calculando essas diferenças:

[tex]1. \( \sqrt{27} - \sqrt{12} = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3} \)\\2. \( \sqrt{48} - \sqrt{27} = 4\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = \sqrt{3} \)\\3. \( \sqrt{75} - \sqrt{48} = 5\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = \sqrt{3} \)[/tex]

Observamos que a diferença entre termos consecutivos é sempre [tex]\( \sqrt{3} \).[/tex]

Agora, para encontrar o próximo número na sequência, adicionamos [tex]\( \sqrt{3} \)[/tex] ao último termo:

[tex]\[ \sqrt{75} + \sqrt{3} \][/tex]

Para simplificar, podemos multiplicar ambos os termos por [tex]\( \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} - 1} \)[/tex] (que é essencialmente multiplicar por 1) para racionalizar o denominador:

[tex]\[ \frac{\sqrt{225} + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \][/tex]

Simplificando ainda mais:

[tex]\[ \frac{15 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3} + 3}{3} = 5\sqrt{3} + 1 \][/tex]

o próximo número na sequência é [tex]\( 5\sqrt{3} + 1 \).[/tex]

Portanto, [tex]\(5\sqrt{3} + 1\)[/tex] é aproximadamente 9.66.